Kořen (matematika)

prvek definičního oboru funkce, pro kterou je daná funkce nulová

Kořenem funkce se v matematice nazývá takový prvek a z definičního oboru funkce , v němž funkce nabývá nulové hodnoty. Přesněji kořenem funkce je každá hodnota splňující rovnici () = 0.

Pro nejběžnější případ, kdy je definiční obor funkce podmnožinou komplexních resp. reálných čísel, je kořen bod, v němž graf funkce protíná komplexní rovinu resp. osu souřadnicového systému.

Kořen polynomuEditovat

Polynom jedné proměnné stupně   s komplexními koeficienty chápaný jako funkce může mít nejvýše   různých komplexních kořenů. Je-li   kořenem polynomu  , pak  dělí   a tedy   je polynom stupně  .[1]

Podle základní věty algebry má každý polynom jedné proměnné stupně   s komplexními koeficienty v komplexních číslech právě   kořenů, je-li každý počítán ve své násobnosti. Uvažujeme-li polynom nad reálnými čísly, pak tato situace nemusí obecně platit – např. polynom   nemá řešení v oboru reálných čísel.

Řešení:    ;   .

Metody výpočtuEditovat

Přímý výpočetEditovat

Je-li lineární polynom (  kde   jsou reálná nebo komplexní čísla, pak jeho kořenem je číslo  .

Pro kvadratický polynom ( ), existují obecně dva kořeny  .

Příklad1: rovnice v součinném tvaru  

řešení:

 ;

 

Pro výpočet kořenů kubického polynomu lze použít např. Cardanovy vzorce nebo Hornerovo schéma.[2]

Příklad2:   , hledané řešení:  

  , kde   je kořen a  ,

po roznásobení pravé strany a úpravě vytýkáním, vznikne rovnice:

 

porovnáním koeficientů u stejné mocniny   vznikne soustava tří rovnic o třech neznámých:

 

 

 

Vyřešené hodnoty   lze dosadit do rovnice

 

vyřešením rovnic v součinném tvaru je kořen rovnice pouze číslo  , kvadratická rovnice   nemá v oboru   řešení.

AproximaceEditovat

Související informace naleznete také v článcích Půlení intervalů a Metoda tečen.

Najdeme-li dva body   a  , pro které platí  , kde   značí znaménkovou funkci signum ( ), pak existuje alespoň jeden kořen v intervalu  , (viz Bolzanova věta). Tento kořen lze najít metodou půlení intervalů nebo metodou tečen.

PříkladyEditovat

  • Funkce   (viz Eulerovo číslo) nemá v reálných ani komplexních číslech kořen.
  • Funkce   (viz sinus) má nekonečně mnoho kořenů (je periodická) , a to právě čísla tvaru , kde π je Ludolfovo číslo a k libovolné celé číslo.

ReferenceEditovat

  1. Algebraicke rovnice. user.mendelu.cz [online]. [cit. 2021-04-01]. Dostupné online. 
  2. Rovnice vyšších stupňů. kdm.karlin.mff.cuni.cz [online]. [cit. 2021-04-01]. Dostupné online. 

Externí odkazyEditovat

Řešené příklady(německy)