Otevřít hlavní menu

Kořenem funkce f se v matematice nazývá takový prvek a z definičního oboru f, v němž f nabývá nulové hodnoty. Přesněji kořenem je každé a splňující rovnici f(a) = 0.

Pro nejběžnější případ, kdy je definiční obor f podmnožinou komplexních resp. reálných čísel, je kořen bod, v němž graf funkce f protíná komplexní rovinu resp. osu x.

Kořen polynomuEditovat

Polynom jedné proměnné stupně n s komplexními koeficienty chápaný jako funkce může mít nejvýše n různých komplexních kořenů. Je-li totiž a kořenem polynomu P(x), pak (xa) dělí P(x), a tedy P(x)/(x-a) je polynom stupně n-1.

Podle základní věty algebry má každý polynom jedné proměnné stupně n s komplexními koeficienty v komplexních číslech právě n kořenů, je-li každý počítán ve své násobnosti. Uvažujeme-li polynom nad reálnými čísly, pak tato situace nemusí obecně platit – např. polynom   nemá v reálných číslech kořen (kořeny polynomu jsou komplexní čísla  ).

Metody výpočtuEditovat

PřímoEditovat

  • Je-li   lineární polynom (tedy  , kde   a   jsou reálná nebo komplexní čísla), pak jeho kořenem je číslo  
  • Jde-li o kvadratický polynom ( ), pak existují obecně dva kořeny  .
  • Pro výpočet kořenů kubického polynomu existují např. Cardanovy vzorce.

AproximacíEditovat

Najdeme-li dva body   a  , pro které platí   kde   značí znaménkovou funkci signum (jinak řečeno  ), pak existuje alespoň jeden kořen v intervalu   (viz Bolzanova věta). Tento kořen lze najít metodou půlení intervalů nebo metodou tečen

PříkladyEditovat

  • Kořenem funkce (polynomu)   je číslo −3, protože f(-3) = 0. Jiné kořeny tato funkce nemá – to se zjistí snadno rozkladem na  .
  • Funkce   (viz Eulerovo číslo) nemá v reálných ani komplexních číslech kořen.
  • Funkce   (viz sinus) má nekonečně mnoho kořenů, a to právě čísla tvaru , kde π je Ludolfovo číslo a k libovolné celé číslo.

Související článkyEditovat