Otevřít hlavní menu
Tento článek je o geometrickém objektu. Další významy jsou uvedeny na stránce Válec (rozcestník).

Válec je v prostorové geometrii těleso, vymezené dvěma rovnoběžnými podstavami a pláštěm. Plášť je rozvinutelná plocha, všechny povrchové (tvořící) přímky pláště jsou rovnoběžné a pokud jsou k podstavám kolmé, hovoříme o kolmém válci. V opačném případě se jedná o válec kosý. Vzdálenost mezi podstavami se nazývá výška válce. Vzdálenost mezi dvěma podstavami podél pláště (tj. podél povrchové přímky) se nazývá strana válce.

Je-li podstavou kruh, pak válec označíme jako kruhový. Kolmý kruhový válec nazýváme rotačním válcem. Přímku procházející středy obou podstav rotačního válce nazýváme osou rotace.

Rotační válec, r je poloměr a h je výška.

Rotační válecEditovat

Nejčastěji se válcem rozumí rotační válec, kolmý válec, jehož podstavou je kruh. Má také řadu různých aplikací.

VlastnostiEditovat

  • Pro objem rotačního válce platí
 

kde   je poloměr podstavy a   je výška válce.

  • Obsah pláště rotačního válce je
 , obsah podstavy je
 

Pro obsah celého povrchu rotačního válce pak platí

 
  • Obecný řez válce rovinou je elipsa, je-li rovina kolmá k jeho ose, je to kružnice a je-li s osou rovnoběžná, je to obdélník nebo přímka.
  • Označíme-li si na podstavě válce libovolný bod (kromě středu) a pak valíme válec po rovině, pak označený bod opisuje cykloidu.

Válcová plocha a prostorEditovat

 
Válcový prostor a plocha.

Jednoduchou představu rotačního válce lze rozšířit a zobecnit. Mějme jednoduchou uzavřenou křivku  , která leží v rovině. Body, které leží na vzájemně rovnoběžných přímkách procházejících libovolným bodem křivky  , tvoří válcovou plochu. Část prostoru ohraničená válcovou plochou se nazývá válcový prostor.

RovniceEditovat

Válcová plocha (kvadratický válec) bývá označována podle řídící křivky.

 
Obecný válec

Eliptický kvadratický válecEditovat

Eliptický kvadratický válec lze vyjádřit rovnicí

 

Řídící křivkou eliptického válce je elipsa ležící v rovině   s rovnicí   a tvořící přímky válce jsou rovnoběžné s osou  .

Pro   se jedná o rotační válec s osou rotace  .

Hyperbolický kvadratický válecEditovat

Hyperbolický kvadratický válec lze vyjádřit rovnicí

 

Řídící křivkou hyperbolického válce je hyperbola ležící v rovině   s rovnicí   a tvořící přímky válce jsou rovnoběžné s osou  .

Parabolický kvadratický válecEditovat

Parabolický kvadratický válec lze vyjádřit rovnicí

 

Řídící křivkou parabolického válce je parabola ležící v rovině   s rovnicí   a tvořící přímky válce jsou rovnoběžné s osou  .

Obecný válecEditovat

Obecnou válcovou plochu, jejíž řídící křivka leží v rovině   a má rovnici  , a její tvořící přímky jsou rovnoběžné s osou  , lze zapsat rovnicí

 

Obecně lze říci, že pokud v rovnici plochy chybí jedna z proměnných, pak se jedná o rovnici válcové plochy, jejíž tvořící přímky jsou rovnoběžné s osou, která odpovídá chybějící proměnné, a jejíž řídící křivka má stejnou rovnici jako daná plocha a leží v rovině kolmé k tvořícím přímkám.

Jsou-li tvořící přímky rovnoběžné s vektorem  , pak lze rovnici válcové plochy převést na tvar

 

VlastnostiEditovat

Objem válce určíme ze vztahu

 ,

kde   je obsah podstavy a   je hloubka válce.

Obsah povrchu válce je dán vztahem

 ,

kde   je obsah podstavy a   je obsah pláště válce.

OdkazyEditovat

LiteraturaEditovat

  • Ottův slovník naučný, heslo Válec. Sv. 26, str. 351

Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat