Hodnost matice

Hodnost matice (též Rank) je definována jako dimenze lineárního obalu souboru řádků matice. Je to číslo, které představuje počet nezávislých řádků nebo sloupců matice.

Pro matici $\mathbf {A}$ typu $m\times n$ platí

$h(\mathbf {A} )\leq \min\{m,n\}$,

kde $\min\{m,n\}\,$ představuje nejmenší hodnotu z množiny $\{m,n\}\,$. Hodnost matice typu $m\times n$ je tedy menší nebo rovna menšímu z čísel $m,n$.

Určení hodnosti

Hodnost dané matice lze určit např. gaussovou eliminací. Po provedení eliminace je hodnost matice rovna počtu nenulových řádků.

Vlastnosti

• Pokud je hodnost čtvercové matice menší než její rozměr, mluvíme o matici singulární (její řádky jsou lineárně závislé a její determinant je roven nule), v opačném případě o matici regulární (její řádky jsou lineárně nezávislé a má nenulový determinant)
• Pro transponovanou matici platí

$h(\mathbf {A} ^{T})=h(\mathbf {A} )$.

Hodnost transponované matice je tedy stejná jako hodnost původní matice.

Použití

Hodnosti matice využívá např. Frobeniova věta.

Terminologie

Matice $\mathbf {A}$ má plnou hodnost, jestliže speciálně $h(\mathbf {A} )=\min\{m,n\}$.

Související články

• Matice
• Lineární závislost

Portály: Matematika