Otevřít hlavní menu

QR rozklad dané matice je způsob, jak zapsat tuto matici jako součin dvou matic, z nichž jedna je ortogonální (tj. její sloupce tvoří ortonormální systém) a druhá je v horním trojúhelníkovém tvaru. (Pozor, nezaměňovat QR rozklad s QR algoritmem, který slouží k výpočtu vlastních čísel čtvercové matice.)

DefiniceEditovat

Nechť  , QR rozkladem nazýváme vztah

 ,

kde   má vzájemně ortonormální sloupce (tj.  ) a   je v horním trojúhelníkovém tvaru (tj.   pro všechna  ).

Lineárně nezávislé sloupce  Editovat

Pokud má matice   lineárně nezávislé sloupce, pak

 ,

kde   je unitární (v reálném případě ortogonální) matice,   a   je horní trojúhelníková regulární matice.

Označme  , sloupce matic  , platí

 ,

přičemž   značí lineární obal. Tedy   a   obsahuje ortonormální bázi prostoru generovaného sloupci matice  .

Pokud navíc volíme diagonální prvky matice   kladné, je QR pak rozklad

 

jednoznačný. Je-li  , tedy je-li   regulární, pak   a nulový blok v matici   neexistují,  , a tedy i QR rozklad   lze volit jednoznačný.

Lineárně závislé sloupce  Editovat

Pokud má rozkládaná matice lineárně závislé sloupce, QR rozklad zpravidla uvažujeme tak, aby i nadále platilo  . Nechť  , pak

 ,

kde oproti předchozímu případu   a   je v horním schodovitém tvaru (pokud je   pak blok   a nulový blok v matici   neexistují).

Vždy existuje permutace sloupců matice   realizovaná permutační maticí   tak, že

 ,

kde   je horní trojúhelníková regulární matice, kterou lze volit tak, že její diagonální prvky jsou kladné.


Výpočet QR rozkladuEditovat

QR rozklad lze provést pomocí klasického nebo modifikovaného Gramova-Schmidtova algoritmu (případně s iteračním zpřesněním), nebo pomocí Householderových nebo Givensových transformačních matic. Při reálném výpočtu (tj. v aritmetice s konečnou přesností) se všechny zmíněné postupy výrazně liší v přesnosti a rychlosti výpočtu. Přesnost je klíčovým faktorem zejména v případě, že matice obsahuje lineárně závislé sloupce.

LQ rozkladEditovat

LQ rozkladem matice   nazveme transponovaný a komplexně sdružený (tzv. hermitovsky sdružený) QR rozklad matice  . Tedy, je-li

 ,

kde   je v dolním trojúhelníkovém tvaru, představuje LQ rozklad matice  .