Otevřít hlavní menu

Permutace n-prvkové množiny je uspořádaná n-tice obsahující každý prvek právě jednou, takže jednoznačně určuje jedno z možných uspořádání těchto prvků. Odtud (řídce užívané) české synonymum pro permutaci pořadí. Ekvivaletní definice je, že se jedná o n-prvkovou variaci z n prvků.

V komibinatorice se také uvažují permutace s opakováním, zahrnující i taková uspořádání prvků, ve kterém se některé prvky vyskytují vícekrát.

Obecně je permutace (bez opakování) chápána jako bijektivní zobrazení množiny na sebe.

Permutace bez opakováníEditovat

Pokud se prvky ve výběru nemohou opakovat, pak počet všech možných pořadí je určen vztahem

 

kde n! (čteme "en faktoriál") označuje hodnotu posloupnosti zvané faktoriál čísla n.

Pokud se hovoří o permutacích prvků, jsou tím obvykle myšleny permutace bez opakování.

PříkladEditovat

Mějme tři různé prvky  .

Permutace těchto prvků představují skupiny  ,  ,  ,  ,  ,  . Jejich počet je tedy

 

Permutace s opakovánímEditovat

Pokud se prvky ve výběru mohou opakovat, pak počet permutací s opakováním z n prvků je určen jako

 ,

kde se jednotlivé prvky opakují  krát.

PříkladEditovat

Mějme skupinu tří písmen  . Trojice je tedy složena ze dvou prvků (tedy  ), přičemž první prvek   se opakuje dvakrát, tzn.  , a druhý prvek   se opakuje jednou, tzn.  .

Permutacemi s opakováním získáme trojice  ,  ,  . Počet těchto trojic je tedy roven

 

ZápisEditovat

Permutace lze zapsat tabulkou, kde v horním řádku je vstupní hodnota funkce a v dolním její výsledná hodnota. Nebo se zapisuje jako spojení cyklů nebo transpozic.

Permutace je lichá, pokud lze vyjádřit spojením lichého počtu cyklů délky 2. Permutace je sudá, pokud lze vyjádřit spojením sudého počtu cyklů délky 2.

Příklad zápisuEditovat

Pomocí tabulky lze permutaci množiny   zapsat jako

 

Pomocí cyklů a transpozic lze předchozí permutaci zapsat jako

 

Tato permutace je sudá.

Samodružný prvekEditovat

Každý prvek  , pro který platí  , se nazývá samodružným prvkem. V opačném případě se jedná o prvek nesamodružný.

Jestliže každý prvek permutace je samodružný, pak hovoříme o identické (jednotkové) permutaci. Příkladem takové permutace je

 

Inverzní permutaceEditovat

K permutaci

 

je možné vytvořit inverzní permutaci

 

Inverzní permutaci značíme  

Složením permutace   a k ní inverzní permutace   získáme identickou permutaci.

Skládání permutacíEditovat

Mějme na množině   dvě permutace

 
 

Složením permutací   (hovoříme také o součinu permutací) je permutace

 

(pozor, toto je skládání zleva doprava, někdy se používá opačné)

Součin permutací zkráceně zapíšeme  

Násobení permutací není v obecném případě komutativní, tzn.  .

PříkladEditovat

 
 

Za použití výše uvedené metody způsobu zápisu permutace vypadají následovně

 
 

Složením permutací   a   rozumíme permutaci   Permutace skládáme jako funkce, tedy zprava doleva. Nejprve se podíváme na první prvek permutace  . V ní číslo 1 jde na číslo 6. Pak se podíváme kam jde 6 v  . Permutace   o čísle 6 nic neříká, tedy píšeme

(1 6

Teď se podívám kam jde 6 v  . Na 2. Druhá permutace opět o 2 nehovoří. Tedy pokračujeme v zápisu

(1 6 2

Číslo 2 jde   na 4, ale číslo 4 jde v   na 1 a tento prvek už máme jako začátek našeho cyklu. Tedy zatím počítáme správně. Pokud by nám vyšlo nějaké číslo, které není na začátku cyklu, pak je někde chyba. Tedy uzavíráme cyklus.

(1 6 2)

Teď se podíváme na číslo do permutace vpravo, které jsme ještě nepoužili (není napsáno v již uzavřeném cyklu). Takovým číslem je 4. Číslo 4 jde v   na 1 a ta jde v   na 5. To zapíšeme

(1 6 2)(4 5

a provedeme tento postup pro zbylá čísla (zde chybí už jenom číslo 5). Tedy výsledek je

 

Pozn.: Výsledek lze interpretovat také třeba jako (216)(534), neboť (216) = (162) = (621).

VlastnostiEditovat

Máme-li na dané množině   permutace   a identickou permutaci  , pak platí vztahy

 
 
 

To jsou axiomy grupy splněné obecně pro každou množinu permutací P(n), kde grupovým násobením je součin dvou permutací. Tedy množina permutací P(n) společně se skládáním permutací tvoří grupu.

Řád permutaceEditovat

Máme-li permutaci  ,   značí permutaci vzniklou k-násobným složením permutace  , tj.  ,  . Řád permutace je nejmenší přirozené číslo k takové, pro které platí  , tj. po k složeních vznikne identická permutace.

PříkladEditovat

Zobrazení   na celých číslech je permutace. Máme-li nyní permutaci   definovanou na celých číslech. Pak : .

PoznámkyEditovat

LiteraturaEditovat

  • Odmaturuj z matematiky. [s.l.]: Didaktis, 2003 (druhé opravené vydání). ISBN 80-86285-97-9. Kapitola 35. Kombinatorika. 

Související článkyEditovat