Znaménko permutace

Znaménko permutace (značené obvykle jako sgn(σ), též označováno jako parita permutace) je charakteristika konkrétní permutace (seřazení množiny čísel), která vyjadřuje, zda je počet inverzí této permutace (počet prvků prohozených oproti seřazené posloupnosti) sudý či lichý. Vyjadřuje se čísly ±1 či pouze příslušným znaménkem +/-: sudý počet inverzí odpovídá kladnému znaménku, lichý zápornému. Tuto vlastnost lze zapsat tak, že

sgn(σ) = (−1)n,

kde n je počet inverzí permutace, nebo počet cyklů sudé délky[1].

Definice inverzeEditovat

Inverze v permutaci p je dvojice prvků a, b taková, že a < b a zároveň p(a) > p(b).

PříkladEditovat

Permutaci si lze představit jako dvouřádkovou matici:

 

např. matice

 

má počet inverzí 0, proto bude znaménko +. Pro jinou permutaci

 

platí:

 , potom permutace:
  - obě inverze jsou uvedené v závorce

má dvě inverze a znaménko bude +.

Alternativní výpočetEditovat

Znaménko permutace lze také vypočítat tak, že za n ve vzorci dosadíme počet cyklů sudé délky.

Permutaci zapsanou ve formě matice:

 

lze také zapsat pomocí cyklů:

 

Ze zápisu pomocí cyklů vidíme, že počet cyklů sudé délky je roven 0. Dosadíme tedy do vzorce:

sgn(σ) = (−1)0 = 1

výsledek je kladný, znaménko je tedy +.

VlastnostiEditovat

Jsou-li   a   dvě permutace na množině  , pak znaménko permutace jejich složení je rovno součinu znamének jednotlivých permutací, tedy

 

Znaménko inverzní permutace je určeno jako

 

Je-li permutace   součinem nezávislých cyklů  , kde každý z cyklů   má délku  , pak

 

ReferenceEditovat

  1. ROSKOVEC, Tomáš. Permutace [online]. Dostupné online. 

Související článkyEditovat