Číselná posloupnost

(přesměrováno z Posloupnosti)

Číselná posloupnost je zobrazení z množiny přirozených čísel do libovolné číselné množiny (například do množiny komplexních nebo reálných čísel).

Nekonečná číselná posloupnost je každá funkce, jejímž definičním oborem je množina N všech přirozených čísel.

Konečná posloupnost je každá funkce, jejíž definiční obor je konečná podmnožina všech přirozených čísel. Pokud je posloupnost konečná, často ji nazýváme uspořádanou n-ticí. Uspořádanou n-tici čísel můžeme chápat jako souřadnice bodu v n-rozměrném prostoru a často ji nazýváme aritmetický vektor.

V matematice se pracuje také s nečíselnými posloupnostmi – například posloupnostmi funkcí.

Zadání posloupnostiEditovat

Vzorcem pro n-tý členEditovat

  např.   nekonečná posloupnost
  např.   konečná posloupnost

RekurentněEditovat

a) je dán první člen a vzorec k výpočtu členu   pro každé   z množiny N   pro všechna   z množiny N

b) jsou dány první dva členy a vzorec k výpočtu   na základě znalosti   a    ,  ,   pro všechna   z množiny N

Výčtem svých členůEditovat

  pro konečnou posloupnost

Vlastnosti posloupnostíEditovat

U číselných posloupností (obecněji u posloupností, jejichž oborem hodnot je uspořádaná množina) lze definovat následující vlastnosti:

  • Posloupnost   je rostoucí, právě když pro všechna   z množiny N je  
  • Posloupnost   je nerostoucí, právě když pro všechna   z množiny N je  
  • Posloupnost   je klesající, právě když pro všechna   z množiny N je  
  • Posloupnost   je neklesající, právě když pro všechna   z množiny N je  

Každá rostoucí posloupnost je neklesající, každá klesající posloupnost je nerostoucí. Je-li posloupnost nerostoucí nebo neklesající, říkáme, že je monotónní, posloupnost, která je rostoucí nebo klesající, je ryze monotónní.

  • Posloupnost   je shora omezená, právě když existuje reálné číslo   takové,že pro všechna   z množiny N je  .
  • Posloupnost   je zdola omezená, právě když existuje reálné číslo   takové,že pro všechna   z množiny N je  .
  • Posloupnost se nazývá omezená, právě když je shora omezená a zároveň zdola omezená.

Konečná posloupnost délky   je

  • čistě bitonická, pokud existuje takové i, že posloupnost   je rostoucí a   je klesající[1]
  • bitonická, pokud ji lze získat cyklickým posunutím (rotací) z nějaké čistě bitonické posloupnosti[2]

Jestliže se v libovolně malém  -okolí bodu d, tzn. v intervalu  , nachází nekonečně mnoho členů posloupnosti  , pak bod d nazýváme hromadným bodem posloupnosti  .

LimitaEditovat

Související informace naleznete také v článku Limita posloupnosti.

Říkáme, že posloupnost

  • konverguje (je to konvergentní posloupnost), má-li konečnou limitu (např.   konverguje k 0),
  • diverguje (je to divergentní posloupnost), má-li nekonečnou limitu (např.   diverguje k  ), nebo nemá limitu, ale osciluje (např.  ).

Ze spojitosti uspořádání reálných čísel (věta o supremu a infimu) plyne, že monotónní reálná posloupnost musí mít limitu.

Vybraná posloupnostEditovat

Je-li   posloupnost (obecně reálných) čísel a   rostoucí posloupnost přirozených čísel, pak výraz   nazýváme posloupnost vybraná (též podposloupnost) z   (jinými slovy, z   vybereme některé členy, např. všechny liché).

Platí důležitá Bolzano-Weierstrassova věta: Z každé omezené posloupnosti reálných čísel lze vybrat konvergentní posloupnost. Tato věta je založena na axiomu výběru a proto v některých logických systémech (např. intuicionistická logika) neplatí.

OdkazyEditovat

ReferenceEditovat

  1. MAREŠ, Martin. 5. Hradlové sítě [online]. United Computer Wizards, 2011-11-21 [cit. 2015-10-21]. S. 10. Dostupné online. 
  2. MAREŠ, Martin. 5. Hradlové sítě, S. 11.

Související článkyEditovat