Otevřít hlavní menu

Kombinace

výběr prvků bez závislosti na jejich pořadí
Další významy jsou uvedeny na stránce Kombinace (rozcestník).

Kombinace je základní pojem z kombinatoriky. k-Členná kombinace z n prvků je skupina k prvků, vybraná z n různých prvků, u níž nezáleží na jejich pořadí. Od variace se liší tím, že je neuspořádaná.

Kombinace bez opakováníEditovat

Počet kombinací  -té třídy z  prvků bez opakování, neuspořádaných k-tic vybraných z těchto prvků tak, že se v ní každý vyskytuje nejvýše jednou, je

 ,

kde symbol   představuje kombinační číslo. Čteme jej "en nad ká".

PříkladEditovat

Mějme skupinu tří prvků  , tzn.  .

Chceme-li z těchto prvků vybrat vždy jen jeden prvek, můžeme to udělat třemi možnými způsoby, tzn. vybereme   nebo   nebo  . Jedná se o kombinaci první třídy, tzn.  , a tedy počet výběrů je roven

 

Chceme-li z uvedené trojice prvků vybrat vždy dva, přičemž nám nezáleží na pořadí a žádný prvek nemůžeme vybrat vícekrát, můžeme získat následující dvojice prvků:  ,  ,  . Jedná se o kombinaci druhé třídy (tedy  ) bez opakování. Pro počet dvojic pak dostáváme

 

Pokud chceme z uvedené trojice prvků vybrat vždy tři, přičemž nám nezáleží na pořadí a žádný prvek nemůžeme vybrat vícekrát, můžeme získat pouze jedinou trojici prvků:  . Jedná se o kombinaci třetí třídy (tedy  ) bez opakování. Pro počet trojic tedy platí

 

Kombinace s opakovánímEditovat

Počet kombinací  -té třídy z   prvků s opakováním, tzn. každý prvek se ve výběru může objevit vícekrát, je určen vztahem

 

PříkladEditovat

Mějme skupinu dvou prvků  , tzn.  .

Chceme-li z těchto prvků vybrat vždy jen jeden prvek, můžeme to udělat dvěma možnými způsoby, tzn. vybereme   nebo  . Jedná se o kombinaci první třídy, tzn.  , a tedy počet výběrů je roven

 

Je vidět, že u kombinací první třídy není třeba rozlišovat, zda jsou s opakováním nebo bez opakování.


Chceme-li z uvedené dvojice prvků vybrat vždy dva, přičemž nám nezáleží na pořadí a každý prvek můžeme vybrat vícekrát, můžeme získat následující dvojice prvků:  ,  ,  . Jedná se o kombinaci druhé třídy (tedy  ) s opakováním. Pro počet dvojic pak dostáváme

 

Obdobně bychom dostali  , atd.

LiteraturaEditovat

  • Odmaturuj z matematiky. [s.l.]: Didaktis, 2003 (druhé opravené vydání). ISBN 80-86285-97-9. Kapitola 35.Kombinatorika. (česky) 

Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat