Kombinační číslo

matematická funkce definující mimo jiné koeficienty vyskytující se v binomické větě

Kombinační číslo je matematická funkce, která udává počet kombinací, tzn. způsobů, jak vybrat -prvkovou podmnožinu z -prvkové množiny ( a jsou čísla přirozená). Kombinační čísla zapisujeme (čte se „n nad k“), někdy se používá také značení , či . Hodnotu kombinačních čísel lze vyjádřit pomocí faktoriálu:

Binomické koeficienty lze uspořádat do tvaru Pascalova trojúhelníka, ve kterém je každá hodnota součtem dvou hodnot ležících nad ní.
Znázornění binomické expanze do čtvrté mocniny

Platí rovnost

Kombinační čísla se používají hlavně v kombinatorice, velice důležité je využití v binomické větě (přičemž je zde označováno jako binomický koeficient), v Leibnizově pravidle nebo při výpočtu pravděpodobnosti v binomickém rozdělení.

Základní vlastnostiEditovat

Pro přirozená čísla n a k, kde   a   platí

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Zobecnění kombinačních číselEditovat

Pokud definujeme kombinační číslo takto

 ,

kde   je nezáporné celé číslo, pak je zřejmé, že pravá strana má smysl, i když číslo   není celé nezáporné. Na číslo   dokonce nemusíme klást žádné podmínky, může se jednat dokonce o číslo komplexní. Vztah je tedy přirozeným zobecněním kombinačních čísel a je používán hlavně v zobecněné binomické větě.

Další možnou definici nám umožňuje nahrazení faktoriálu gama funkcí

 

kde   i   mohou být komplexní čísla – pak ovšem nebudou platit popsané vlastnosti kombinačních čísel pro všechny hodnoty.

OdkazyEditovat

LiteraturaEditovat

  • MATOUŠEK, Jiří; NEŠETŘIL, Jaroslav. Kapitoly z diskrétní matematiky. 3., upravené a doplněné vyd. Praha: Karolinum, 2007. ISBN 978-80-246-1411-3. Kapitola 3. Kombinatorické počítání, s. 76–82. 
  • BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. 4., upravené vyd. Praha: Academia, 2006. ISBN 80-200-1448-9. Kapitola 1.7.1. Binomické koeficienty, binomická věta, s. 156–160. 

Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat