Pascalův trojúhelník

Pascalův trojúhelník je geometrické uspořádání binomických koeficientů ${\tbinom {n}{k}}$ do tvaru trojúhelníku. Jednotlivé položky trojúhelníku se vyplní podle pravidla, kdy každá položka je součtem dvou položek nad ní. Tuto skutečnost představuje rovnice:

Každá položka v trojúhelníku je součtem dvou položek nad ní

${n \choose k}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}$

kde n a k jsou nezáporná celá čísla, n ≥ k a počáteční hodnota je

${n \choose 0}={n \choose n}=1.$

Počítat se začíná nulou (tj. prvním řádkem $n=0$, první sloupec $k=0$). Pokud začnete na okraji s položkami s hodnotou $1$. výsledkem jsou přesně binomické koeficienty.

${0 \choose 0}$

${1 \choose 0}{1 \choose 1}$

${2 \choose 0}{2 \choose 1}{2 \choose 2}$

${3 \choose 0}{3 \choose 1}{3 \choose 2}{3 \choose 3}$

${4 \choose 0}{4 \choose 1}{4 \choose 2}{4 \choose 3}{4 \choose 4}$

${5 \choose 0}{5 \choose 1}{5 \choose 2}{5 \choose 3}{5 \choose 4}{5 \choose 5}$

Prvních šest řádků Pascalova trojúhelníku, vyjádřeno v kombinačních číslech

Výpočet vychází z vlastností kombinačního čísla:

${\binom {0}{0}}=1$;

${\binom {1}{0}}=1$; ${\binom {1}{1}}=1$;

${\binom {2}{0}}=1$; ${\binom {2}{1}}=2$; ${\binom {2}{2}}=1$ atd.

Ve velké části západního světa je trojúhelník pojmenován po francouzském matematikovi Blaise Pascalovi, ačkoli ho jiní matematici studovali před staletími v Indii, Persii, Číně, Německu a Itálii.

Historie

Yang-Hui trojúhelník, jak je popsáno v knize Zhu Shijie z roku 1303.

První znázornění trojúhelníku kombinačních čísel se objevilo v kontextu indických studií kombinatoriky a binomických čísel, zachovaly se pouze fragmenty. Indický astronom a matematik Varāhamihira podal podrobnější vysvětlení kolem roku 900 n. l. Prvních 17 řad trojúhelníku vytvořil indický matematik Bhattotpala (asi roku 1070). Matematik Mahāvīra používal jiné vzorce pro binomické koeficienty (násobení), ale ekvivalentní ke vzorci:

${n \choose r}={\frac {n!}{r!(n-r)!}}$ .

Přibližně ve stejné době napsal perský matematik Al-Karaji (953–1029) spis, který obsahoval první popis Pascalova trojúhelníku. Další významný perský básník, astronom a matematik Omar Chajjám spočítal Pascalův trojúhelník, který je v Íránu označován jako Khayyam trojúhelník. V té době bylo známo již několik vět souvisejících s trojúhelníkem, včetně binomické věty. V Číně byl Pascalův trojúhelník znám díky matematikovi Zhu Schijie (1265 - 1320)

V západním světě se Pascalův trojúhelník poprvé objevil v aritmetice Jordanus de Nemore (13. století). Kombinační čísla vypočítal Levi ben Geršom na počátku 14. století. Petrus Apianus (1495–1552) publikoval „Pascalův“ trojúhelník na obalu své knihy o obchodních výpočtech v roce 1527. Michael Stifel publikoval část trojúhelníku a popsal ji jako tabulku figurálních čísel (tj. přirozené číslo, které lze vyjádřit pomocí rovinného nebo i prostorového tvaru). V Itálii je Pascalův trojúhelník označován jako Tartagliův trojúhelník, pojmenovaný pro italského matematikovi a konstruktérovi Niccolò Fontana Tartaglia, který v roce 1556 publikoval šest řádků trojúhelníku v roce 1570.

Pascalova Traité du triangle arithmétique ( Pojednání o aritmetickém trojúhelníku ) byla zveřejněna v roce 1655. V tomto díle Pascal shromáždil vlastnosti, které byly o trojúhelníku známy, a použil je k řešení problémů v teorii pravděpodobnosti. Trojúhelník pojmenoval podle Pascala Pierre Raymond de Montmort (1708) a nazval „Table de M. Pascal pour les combinaisons“ (francouzsky: Tabulka pana Pascala pro kombinace) a také Abraham de Moivre (1730), který jej nazval „Triangulum Arithmeticum PASCALIANUM“ (latinsky: Pascalův aritmetický trojúhelník), který se stal základním názvem v Evropě.

Vlastnosti a příklady

Základní vlastnosti

Základní vlastnosti Pascalova trojúhelníku potvrzují definované vztahy pro kombinační čísla. Pro libovolné číslo řádku $n$ ($n=1,2,3...$ ) platí:

• první a poslední čísla jsou $1$;
• druhé a předposlední číslo je $n$;
• třetí číslo se rovná trojúhelníkovému číslu (tj. $1,3,6,10)$, obecně platí $T_{n}=n(n+1)/2$
• čtvrté číslo je tetraedrické, tj. pyramida s trojúhelníkovou základnou.

Symetrie podle osy souměrnosti

1
1   1
1   2   1
1   3   3   1
1   4   6   4   1
1   5  10  10   5   1
1   6  15  20  15   6   1

Prvních sedm řádků Pascalova trojúhelníku

V Pascalově trojúhelníku jsou symetricky rozmístěna stejná čísla vzhledem k jeho ose souměrnosti. Tato vlastnost je dána tím, že čísla: ${\binom {n}{k}}$ a ${\binom {n}{n-k}}$ se sobě rovnají a mají stejnou vzdálenost od "středu" řádku. Výpočet kombinačního čísla (počítá se v šestém řádku druhé a páté číslo):

${\binom {5}{1}}={\frac {5!}{1!.4!}}={\frac {5.4!}{1.4!}}={\frac {5}{1}}=5$

${\binom {5}{4}}={\frac {5!}{4!.1!}}={\frac {5.4!}{4!.1!}}={\frac {5}{1}}=5$

Posloupnosti

V Pascalově trojúhelníku lze nalézt mnoho známých posloupností.

$2^{0}=1$

$2^{1}=2$

$2^{2}=4$

$2^{3}=8$

$2^{4}=16$

$2^{5}=32$

$2^{6}=64$

$n=6:1+2+4+8+16+32+64=127$

Součet čísel v řádku Pascalova trojúhelníku je roven mocnině čísla 2.

• nultý (n= 0) řádek: $1=2^{0}$
• první (n = 1) řádek: $1+1=2=2^{1}$
• druhý (n = 2) řádek: $1+2+1=4=2^{2}$
• třetí (n = 3) řádek: $1+3+3+1=8={\acute {2^{3}}}$
• atd.

Součet všech čísel Pascalova trojúhelníku od nultého řádku po $n$. řádek je roven číslu $2^{n+1}-1$.

$2^{n+1}-1$ = $2^{6+1}-1=2^{7}-1=128-1=127$; součet v tabulce vpravo je stejný.

Fibonacciho posloupnost

Související informace naleznete také v článku Fibonacciho posloupnost.

Znázornění: Fibonacciho čísla jako součet diagonál (červené čáry).

Diagonální součty (označené červeně) v Pascalově trojúhelníku jsou Fibonacciho čísla (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...).

Po vypočítání součtů $s_{n}$ pro n = 0, 1, 2, 3, 4, 5:

$s_{0}={\tbinom {0}{0}}=1=F_{1}$; ${\displaystyle s_{1}={\tbinom {1}{0}}=1=F_{2}}$; ${\displaystyle {\displaystyle s_{2}={\tbinom {2}{0}}+{\tbinom {1}{1}}=2=F_{3}}}$, ${\displaystyle {\displaystyle s_{3}={\tbinom {3}{0}}+{\tbinom {2}{1}}=3=F_{4}}}$,

${\displaystyle {\displaystyle s_{4}={\tbinom {4}{0}}+{\tbinom {3}{1}}+{\tbinom {2}{2}}=5=F_{5}}}$; ${\displaystyle {\displaystyle s_{5}={\tbinom {5}{0}}+{\tbinom {4}{1}}+{\tbinom {3}{2}}=8=F_{6}}}$

Na základě těchto součtů lze vyslovit domněnku, že posloupnost čísel: $s_{0},s_{1},s_{2},s_{3}...$ je rovna posloupnosti $F_{1},F_{2},F_{3},F_{4}...$

tj. pro všechna celá nezáporná čísla $n$ je $s_{n}=F_{n+1}$.

Zobecnění: Pascalův trojúhelník lze snadno zobecnit pro vyšší dimenze. Ve vyšších dimenzích se obecně nazývají Pascalův simplex.

Jedna ze zajímavostí Pascalova trojúhelníku je, že jednotlivé řádky zapsané v desítkové soustavě souvisí s mocninami čísla 11, vzorcem zapsáno $\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}10^{k}=11^{n}=(1+10)^{n}$ kde n je číslo řádku. Číslo sestavené z číslic prvního řádku je rovno $11^{0}$, u druhého řádku $11^{1}$, u třetího $11^{2}$, atd. V řádcích, s dvojcifernými čísly se pak číslice na místě desítek přičítá k číslici vlevo.

$1=11^{0}$; $11=11^{1}$; $121=11^{2}$; $1331=11^{3}$; ....

ale pro $n=5$ řádek tvoří čísla: $1\qquad 5\qquad 10\qquad 10\qquad 5\qquad 1$; pak zapíšeme $161051=11^{5}$

Obdobně i pro jiné základy než deset a mocniny čísla o jednu větší než základ.

Určení koeficientů binomického rozvoje

S využitím binomické věty: $(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}\quad$, Pascalův trojúhelník zobrazí koeficienty, které vznikají při binomickém rozvoji. Příklad: řádek pro n = 2 obsahuje koeficienty 1, 2, 1 pro:

$(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}=1x^{2}y^{0}+2x^{1}y^{1}+1x^{0}y^{2}$

Koeficienty jsou čísla ve druhé řadě Pascalova trojúhelníku: ${2 \choose 0}=1$, ${2 \choose 1}=2$, ${2 \choose 2}=1$ .

Řádek pro n = 3 obsahuje koeficienty 1, 3, 3, 1 pro:

$(a\pm b)^{3}=a^{3}\ \pm \ 3\cdot a^{2}b^{1}\ +\ 3\cdot a^{1}b^{2}\ \pm \ b^{3}$

Řádek pro n = 4 obdobně: 1, 4, 6, 4, 1, je nutno vzít v úvahu znaménko minus:

$(a-b)^{4}=a^{4}\ -\ 4\cdot a^{3}b^{1}\ +\ 6\cdot a^{2}b^{2}\ -\ 4\cdot a^{1}b^{3}\ +\ b^{4}.$

Sierpińského trojúhelník (přiblížení 7. rekurze)

Obecně platí pro: $(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{n-k}y^{k}=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}y+a_{2}x^{n-2}y^{2}+\ldots +a_{n-1}xy^{n-1}+a_{n}y^{n}$

kde koeficienty $a_{k}$ v tomto rozvoji jsou přesně čísla na řádku $n$ Pascalova trojúhelníku. Jinými slovy, $a_{k}={n \choose k}$

Fraktální útvary a Pascalův trojúhelník

Související informace naleznete také v článku Sierpińského trojúhelník.

V Pascalově trojúhelníku lze najít i určitou geometrickou strukturu. Pokud všechna sudá čísla vybarvíme jednou barvou a lichá čísla jinou, získáme útvar zvaný Sierpinského trojúhelník, který patří mezi fraktální útvary.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Pascal's triangle na anglické Wikipedii.

Související články

• Kombinatorika
• Sierpińského trojúhelník
• Binomická věta
• Blaise Pascal

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Pascalův trojúhelník na Wikimedia Commons

Autoritní data	NKC: ph348268

Portály: Matematika