Binomická věta

Binomická věta je důležitá matematická věta, díky které můžeme n-tou mocninu dvou sčítanců rozložit na součet n+1 sčítanců. Věta vychází z kombinatoriky, dnes se používá například k dokazování ve fyzice. Nejjednodušší verze vypadá takto:

(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}\quad

Pokud je n přirozené číslo, tak následující kombinační čísla:

{n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}

jsou takzvané binomické koeficienty Pascalova trojúhelníku. Číslo n! je faktoriál čísla n.

Příklady editovat

Ilustrace binomické věty pro n=3

Příklady binomické věty pro n = 2, n = 3 a n = 4:

(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}\,

(x-y)^{2}=x^{2}-2xy+y^{2}\,

(x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}\,

(x-y)^{3}=x^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}-y^{3}\,

(x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}\,

Na některých středních (základních) školách se zpaměti učí tyto příklady binomické věty jako předem dané „vzorečky“ pro výpočet mnohočlenů.

Důkaz editovat

Použijeme matematickou indukci. Když n = 0, rovnost platí:

(a+b)^{0}=1=\sum _{k=0}^{0}{0 \choose k}a^{0-k}b^{k}.

Pro indukční krok budeme předpokládat, že věta platí pro exponent m. Pak pro $n=m+1$ :

(a+b)^{m+1}=a(a+b)^{m}+b(a+b)^{m}\,

z indukčního předpokladu:

=a\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}a^{m-k}b^{k}+b\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}a^{m-j}b^{j}

násobení přes

a

a

b

:

=\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}a^{m-j}b^{j+1}

vyjmutí

k=0

ze sumy:

=a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}a^{m-j}b^{j+1}

substituce

j=k-1

:

=a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{k=1}^{m+1}{m \choose k-1}a^{m-k+1}b^{k}

vyjmutí

k=m+1

ze sumy:

=a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k-1}a^{m-k+1}b^{k}+b^{m+1}

složení dvou sum:

=a^{m+1}+b^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}\left[{m \choose k}+{m \choose k-1}\right]a^{m-k+1}b^{k}

z Pascalova pravidla:

=a^{m+1}+b^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m+1 \choose k}a^{m-k+1}b^{k}

přidání

m+1

mocnin do výrazu:

=\sum _{k=0}^{m+1}{m+1 \choose k}a^{m-k+1}b^{k}

.

Q.E.D.

Zobecnění binomické věty editovat

Binomickou větu lze zobecnit i na případ, kdy není závorka umocňována na přirozené číslo. I v tomto případě můžeme psát:

$(1+z)^{w}={w \choose 0}+{w \choose 1}z+{w \choose 2}z^{2}+{w \choose 3}z^{3}+\cdots$

Kde $w,\,z$ jsou obecně komplexní čísla. Případně s rozepsáním definice kombinačního čísla:

$(1+z)^{w}=1+wz+{\frac {w(w-1)}{2}}z^{2}+{\frac {w(w-1)(w-2)}{6}}z^{3}+\cdots$

Tyto mocninné řady konvergují obecně jen pokud je $|z|<1$ .

Speciálně pro $z=-x$ a $w=-1$ dostáváme součet geometrické řady:

${\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}\cdots$

Případně pokud je $z=-x^{2}$ a $w=-{\frac {1}{2}}$ , pak obdržíme tuto řadu:

${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}=1+{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}x^{4}+{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}x^{6}+\cdots$

Která po integraci přejde na řadu pro $\arcsin x$ :

$\arcsin x=x+{\frac {1}{2}}{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots$

Speciálně např. když dosadíme $x={\frac {1}{2}}$ , dostaneme docela dobře konvergující řadu pro ${\frac {\pi }{6}}$ . Pomocí této řady bylo v historii v ruce vypočteno Ludolfovo číslo asi na sto míst.

Obdobně, pokud bychom položili $z=x^{2}$ a $w=-1$ , dostali bychom integrací této řady řadu pro $\operatorname {arctg} \;x$ , která taktéž umožňuje vypočítat číslo $\pi$ .

Odkazy editovat

Související články editovat

Externí odkazy editovat

Obrázky, zvuky či videa k tématu binomická věta na Wikimedia Commons
Binomická věta v encyklopedii MathWorld (anglicky)