Binomická věta

algebraické vyjádření mocniny dvojčlenu
Ilustrace binomické věty pro n=2

Binomická věta je důležitá matematická věta, díky které můžeme n-tou mocninu dvou sčítanců rozložit na součet n+1 sčítanců. Věta vychází z kombinatoriky, dnes se používá například k dokazování ve fyzice. Nejjednodušší verze vypadá takto:

Pokud je n přirozené číslo, tak následující kombinační čísla:

jsou takzvané binomické koeficienty Pascalova trojúhelníku. Číslo n! je faktoriál čísla n.

PříkladyEditovat

 
Ilustrace binomické věty pro n=3

Příklady binomické věty pro n = 2, n = 3 a n = 4:

 
 
 
 
 

Na některých středních (základních) školách se zpaměti učí tyto příklady binomické věty jako předem dané „vzorečky“ pro výpočet mnohočlenů.

DůkazEditovat

Použijeme matematickou indukci. Když n = 0, rovnost platí:

 

Pro indukční krok budeme předpokládat, že věta platí pro exponent m. Pak pro  :

 
z indukčního předpokladu:
 
násobení přes   a  :
 
vyjmutí   ze sumy:
 
substituce  :
 
vyjmutí   ze sumy:
 
složení dvou sum:
 
z Pascalova pravidla:
 
přidání   mocnin do výrazu:
  .
Q.E.D.

Zobecnění binomické větyEditovat

Binomickou větu lze zobecnit i na případ, kdy není závorka umocňována na přirozené číslo. I v tomto případě můžeme psát:

 

Kde   jsou obecně komplexní čísla. Případně s rozepsáním definice kombinačního čísla:

 

Tyto mocninné řady konvergují obecně jen pokud je  .

Speciálně pro   a   dostáváme součet geometrické řady:

 

Případně pokud je   a  , pak obdržíme tuto řadu:

 

Která po integraci přejde na řadu pro  :

 

Speciálně např. když dosadíme  , dostaneme docela dobře konvergující řadu pro  . Pomocí této řady bylo v historii v ruce vypočteno Ludolfovo číslo asi na sto míst.

Obdobně, pokud bychom položili   a  , dostali bychom integrací této řady řadu pro  , která taktéž umožňuje vypočítat číslo  .

OdkazyEditovat

Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat