Trojúhelníková matice

speciální druh čtvercových matic

Trojúhelníková matice je v matematice speciální druh čtvercové matice. Horní trojúhelníková matice má všechny prvky pod hlavní diagonálou rovny nule. Podobně dolní trojúhelníková matice má všechny prvky nad hlavní diagonálou nulové.

Horní trojúhelníková matice může mít nenulové prvky pouze ve zvýrazněném trojúhelníku, tedy na hlavní diagonále (vyznačené tučně) a nad ní. Všechny prvky pod diagonálou jsou nulové.

Maticové rovnice s trojúhelníkovými maticemi jsou snadněji řešitelné, a proto jsou trojúhelníkové matice důležité zejména v numerické matematice. Řešení soustav lineárních rovnic pomocí LU rozkladu je založeno na rozkladu matice na součin dolní trojúhelníkové matice a horní trojúhelníkové matice . Regulární maticeLU rozklad, právě když má všechny vedoucí hlavní subdeterminanty nenulové.

Definice

editovat

Horní trojúhelníková matice řádu   je matice tvaru:

 

Formálně prvky horní trojúhelníkové matice splňují:   pro  .

Dolní trojúhelníková matice je matice tvaru:

 

Formálně prvky dolní trojúhelníkové matice splňují:   pro  .

Speciálním případem je diagonální matice, která je horní i dolní trojúhelníkovou maticí zároveň.

Horní trojúhelníkové matice se v literatuře obvykle značí   z angl. upper, případně   - right, zatímco pro dolní trojúhelníkové se používá symbol   - lower, resp. left.

Striktně horní a striktně dolní trojúhelníkové matice

editovat

Hodnoty prvků na hlavní diagonále nejsou u trojúhelníkových matic nijak omezeny. Jsou-li všechny prvky na hlavní diagonále trojúhelníkové matice rovny nule, jde o striktně horní, resp. striktně dolní trojúhelníkovou matici. Striktně horní i striktně dolní trojúhelníkové matice patří mezi nilpotentní matice.

Ukázky

editovat

Matice

 

je horní trojúhelníková, zatímco

 

je dolní trojúhelníková.

Matice

 

je striktně dolní trojúhelníková.

Dopředná a zpětná substituce

editovat

Soustavy lineárních rovnic ve tvaru   a   jsou řešitelné dopřednou substitucí pro dolní trojúhelníkové matice s nenulovou diagonálou a analogicky zpětnou substitucí pro horní trojúhelníkové matice. Název odpovídá postupu, kdy pro dolní trojúhelníkové matice se z první rovnice soustavy nejprve určí  , to se pak dosadí do následující rovnice, aby bylo možné určit  , a tento postup se opakuje až pro  . U horní trojúhelníkové matici se postupuje obráceně, nejprve se z poslední rovnice soustavy určí  , to se pak dosadí do předchozí rovnice, z níž se určí  , atd. až se dojde k  .

Ani v jednom z uvedených postupů není třeba invertovat matici soustavy.

Dopředná substituce

editovat

Maticová rovnice   s dolní trojúhelníkovou maticí   s nenulovými prvky na diagonále odpovídá následující soustavě lineárních rovnic:

 

První rovnice   obsahuje jedinou neznámou  , a tak z ní lze přímo určit první složku řešení  . Druhá rovnice se týká jen neznámých   a  , a proto ji lze jednoznačně vyřešit, jakmile se do   dosadí hodnota získaná z první rovnice. Obecně,  -tá rovnice obsahuje pouze neznámé  , a proto z ní lze určit   pomocí již dříve získaných hodnot neznámých  . Postupu odpovídají následující vzorce pro výpočet řešení:

 

Maticovou rovnici s horní trojúhelníkovou maticí   lze vyřešit podobně, pouze v obráceném pořadí rovnic i neznámých.

Aplikace

editovat

Dopředná substituce se používá v ekonometrii ke konstrukci výnosové křivky.

Další vlastnosti

editovat
  • Matice je dolní trojúhelníková, právě když její transpozice je horní trojúhelníková matice.
  • Součin dvou trojúhelníkových matic stejného typu je trojúhelníková matice téhož typu.
  • Součin dvou striktně trojúhelníkových matic stejného typu je striktně trojúhelníková matice téhož typu.
  • Trojúhelníková matice s nenulovými prvky na diagonále je regulární a matice k ní inverzní je trojúhelníková matice stejného typu.
  • Pro trojúhelníkovou matici platí, že její determinant i permanent jsou rovny součinu prvků na hlavní diagonále.
  • Vlastní čísla trojúhelníkové matice jsou prvky na hlavní diagonále. Počet výskytů vlastního čísla na diagonále je jeho algebraická násobnost, čili jeho násobnost jako kořene charakteristického polynomu   matice  . Jinými slovy, charakteristický polynom trojúhelníkové matice   řádu   je roven
 ,
což je polynom stupně  , jehož kořeny jsou prvky na diagonále matice   (včetně násobností). Uvedený vztah vyplývá ze skutečnosti, že   je také trojúhelníková matice a tudíž její determinant   je součinem prvků na její diagonále, což jsou právě  .

Algebraické vlastnosti

editovat
  • Množina všech horních trojúhelníkových matic tvoří řešitelnou Lieovu algebru. Množina všech nilpotentních horních trojúhelníkových matic tvoří nilpotentní Lieovu algebru .
  • Množina všech regulárních horních trojúhelníkových matic tvoří řešitelnou grupu. Množina všech unipotentních horních trojúhelníkových matic, což jsou horní trojúhelníkové matice s 1 na diagonále, tvoří nilpotentní grupu.
  • Trojúhelníková matice řádu   může mít nejvýše   nenulových prvků, což je také dimenze odpovídající Lieovy grupy, resp. algebraické grupy.

Stejné vlastnosti mají i dolní trojúhelníkové matice.

Aplikace

editovat

Pro své speciální vlastnosti se trojúhelníkové matice používají v různých oblastech matematiky, zejména v numerické matematice. V následujících tvrzeních jsou uvažovány matice nad tělesem komplexních čísel  :

Reference

editovat

V tomto článku byly použity překlady textů z článků Triangular matrix na anglické Wikipedii a Dreiecksmatrix na německé Wikipedii.

Literatura

editovat
  • BÄRTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. Kapitola Matice, s. 180–198. 
  • BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1. 
  • ZDENĚK, Dostál; VÍT, Vondrák. Lineární algebra [online]. Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava a Západočeská univerzita v Plzni, 2012-04-24 [cit. 2022-04-05]. Kapitola 7.2 Trojúhelníkové matice, s. 51. Dostupné online. 
  • HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. 
  • OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 
  • MOTL, Luboš; ZAHRADNÍK, Miloš. Pěstujeme lineární algebru [online]. [cit. 2023-02-20]. Dostupné online.