Vlastní vektory a vlastní čísla

(přesměrováno z Charakteristický polynom)

Vlastní vektor lineárního operátoru je nenulový vektor, jehož směr se uplatněním operátoru nemění; může se měnit jeho velikost a orientace, což lze interpretovat jako násobení nenulovým skalárem. Tento skalár se nazývá vlastní číslo (též vlastní hodnota nebo charakteristické číslo) přidružené či příslušné uvažovanému vlastnímu vektoru. Geometricky se transformace vlastního vektoru operátorem projeví zvětšením/zmenšením vektoru buď bez změny orientace (kladné vlastní číslo) nebo s obrácením orientace (záporné vlastní číslo). Množina vlastních vektorů, které náleží stejnému vlastnímu číslu, se nazývá vlastní prostor operátoru přidružený k danému vlastnímu číslu.

Při této transformaci obrazu Mony Lisy byl obraz deformován takovým způsobem, že se směr ani velikost modře znázorněného vektoru nezměnila. (oříznutím rohů na pravém obrázku se nezabýváme). Modrý vektor je pak vlastním vektorem transformace, zatímco červený nikoliv. Protože modrý vektor nezměnil délku, jeho vlastní číslo je 1. Všechny vektory v tomto směru jsou vlastní vektory se stejným vlastním číslem a tvoří podprostor vlastního prostoru tohoto vlastního čísla.

Vlastní vektor může mít v konkrétních aplikacích i jiná označení, je například zvykem říkat vlastní řešení (pokud je vektor řešením nějaké rovnice), vlastní funkce (pokud jde o funkci), vlastní stav (pokud vektor popisuje kvantový stav) apod.

Vlastní čísla a vlastní vektory hrají důležitou roli nejen v lineární algebře, ale i funkcionální analýze, kybernetice nebo v kvantové fyzice.

Definice a značeníEditovat

Vlastní vektor lineárního operátoru   je takový nenulový vektor u, pro který existuje číslo   tak, že platí:

 .

Číslo   se nazývá vlastní číslo (též charakteristické číslo) operátoru   a   vlastní vektor operátoru   příslušný vlastní hodnotě  .

V kvantové mechanice se často lze setkat se zápisem   anebo   kde   označuje operátor a A příslušné vlastní číslo. Operátor   je často diferenciální operátor na nějakém prostoru funkcí nebo distribucí.

Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů maticeEditovat

Nechť   je zadaná reálná nebo komplexní čtvercová matice  ,   je sloupcový vektor délky   a   je reálné nebo komplexní číslo. Rovnice  , jejíž levou stranu chápeme jako násobení matice vektorem a pravou stranu jako násobení skaláru vektorem, obsahuje známou matici   a neznámé veličiny   a  . Tato maticová rovnice se dá přepsat jako soustava lineárních rovnic

 

pro  .

Proměnnou   na pravé straně lze pomocí Kroneckerova delta vyjádřit jako

 

Dosazením do předchozího vztahu pak dostaneme

 ,

což lze vyjádřit maticově jako

 ,

kde   je jednotková matice. Na tento vztah lze nahlížet jako na homogenní soustavu lineárních algebraických rovnic o   neznámých. Ta má netriviální (nenulové) řešení právě tehdy, když je matice soustavy singulární, tzn. platí

 ,

což lze rozepsat

 .

Tato rovnice se nazývá charakteristická rovnice. Rovnice podobného typu bývají také označovány jako sekulární rovnice, protože dříve sloužily k výpočtům pohybů planet (jejich odchylek od eliptických drah).

Polynom na levé straně této rovnice se nazývá charakteristický polynom matice   a jeho kořeny jsou vlastními čísly matice  . Proto má matice   vždy   vlastních čísel, z nichž se některá mohou opakovat. Počet opakování, tj. násobnost kořene charakteristického polynomu nazýváme algebraickou násobností vlastního čísla.

Vlastní vektory matice   vyhovují rovnici   pro jednotlivá vlastní čísla.

Libovolný nenulový násobek vlastního vektoru je rovněž vlastním vektorem, není však považován za jiný vlastní vektor. Ke kořenu charakteristického polynomu násobnosti   existuje nejvýše   vzájemně lineárně nezávislých vlastních vektorů. Počet lineárně nezávislých vlastních vektorů odpovídajících vlastnímu číslu  , tj.   se nazývá geometrická násobnost vlastního čísla.

Vztah mezi algebraickou a geometrickou násobností lze snadno nahlédnout pomocí Jordanova rozkladu matice.

PříkladEditovat

Určete vlastní čísla a vlastní vektory matice

 

Charakteristická rovnice má tvar

 .

Po jejím rozepsání (tedy jednoduše vyčíslíme determinant a položíme jej roven nule) dostaneme kvadratickou rovnici

 

Řešením této rovnice získáme vlastní čísla

 

Vlastní vektor   příslušný vlastní hodnotě   získáme řešením soustavy lineárních rovnic

 

Řešením této rovnice je např. vektor

 

Vlastní vektor   příslušný vlastní hodnotě   získáme řešením soustavy lineárních rovnic

 

Řešením této rovnice je např. vektor

 

VlastnostiEditovat

  • Nula je vlastním číslem matice   právě tehdy, když je matice singulární. Je-li matice   regulární, pak nula není jejím vlastním číslem.
  • Je-li matice   symetrická a reálná (tj. obsahuje pouze reálná čísla), pak všechna její vlastní čísla jsou reálná.
  • Jestliže k matici   existuje inverzní matice  , pak   je vlastním číslem matice   tehdy, je-li   vlastním číslem matice  . Přitom platí, že vlastní vektory matice   odpovídající vlastnímu číslu   jsou stejné jako vlastní vektory matice   odpovídající vlastnímu číslu  .
  • Pokud má matice   vlastní číslo   a odpovídající vlastní vektor  , pak matice   má vlastní číslo   a jemu odpovídající vlastní vektor je  .
  • Je-li vlastním číslem reálné matice   komplexní číslo  , pak je také komplexně sdružené číslo   vlastním číslem matice  .
  • Je-li lineární operátor   hermitovský, jsou všechna vlastní čísla reálná.

Spektrum operátoruEditovat

Jako spektrum omezeného lineárního operátoru   se označuje množina komplexních čísel  , pro které není operátor   invertovatelný. Množina všech vlastních čísel tvoří část spektra operátoru. Tato část se nazývá bodové (diskrétní) spektrum. V případě konečnorozměrných operátorů (čtvercových matic konečných rozměrů) je celé spektrum bodové. U nekonečněrozměrných operátorů mohou existovat i další části spektra, které nejsou bodové.

Pokud ke každému vlastnímu číslu   přísluší právě jedna vlastní funkce  , pak říkáme, že operátor má prosté (nedegenerované) spektrum.

Pokud některým vlastním číslům   přísluší několik lineárně nezávislých vlastní funkcí  , tzn.

 ,

kde  , pak hovoříme o degenerovaném spektru. Počet lineárně nezávislých funkcí   se nazývá násobností (stupněm) degenerace.

AplikaceEditovat

Vlastní hodnoty geometrických zobrazeníEditovat

Následující tabulka obsahuje příklady transformací v rovině s jejich 2×2 maticemi, vlastními hodnotami a vlastními vektory.

Vlastní hodnoty geometrických zobrazen
Zvětšení Různé zvětšení ve směru os x a y Rotace Horizontální zkosení Hyperbolická rotace
Ilustrace      
 
 
Matice          
Charakteristický
polynom
         
Vlastní hodnoty,            
Algebraická násobnost,
 
         
Geometrická násobnost,
 
         
Vlastní vektory Všechny nenulové vektory        

Charakteristická rovnice rotace je kvadratická rovnice s diskriminantem  . Je-li θ celočíselný násobek 180° je vlastní číslo +1 nebo -1. Jinak je diskriminant záporný, a obě vlastní čísla nejsou reálná, ale komplexní  ; všechny vlastní vektory pak mají složky, které nejsou reálnými čísly, protože kromě uvedených speciálních případů rotace mění směr každého nenulového vektoru v rovině.

Lineární transformace, která převádí čtverec na obdélník stejné plochy (anglicky squeeze mapping) má jedno vlastní číslo rovné převrácené hodnotě druhého.

Schrödingerova rovniceEditovat

 
Vlnové funkce odpovídající vázaným stavům elektronu v atomu vodíku můžeme považovat za vlastní vektory Hamiltoniánu atomu vodíku stejně jako operátor momentu hybnosti. Vlnové funkce souvisejí s vlastními čísly, která lze interpretovat jako jejich energie (rostoucí dolů:  ) a moment hybnosti (rostoucí zleva doprava: s, p, d, ...). Obrázek znázorňuje druhou mocninu absolutních hodnot vlnových funkcí. Světlejší oblasti odpovídají vyšší pravděpodobnosti výskytu elektronu v daném místě. Jádro atomu tvořené protonem je uprostřed každého obrázku.

Příkladem rovnice s vlastními čísly, kde transformace   je reprezentována diferenciálním operátorem, je časově nezávislá Schrödingerova rovnice v kvantové mechanice:

 

kde Hamiltonián   je diferenciální operátor druhého řádu a vlnová funkce   je jednou z jeho vlastních funkcí odpovídajících vlastnímu číslu   interpretovanému jako energie.

V případě, kdy nás zajímají pouze řešení pro vázané stavy Schrödingerovy rovnice, jak je tomu často v kvantové chemii, budeme hledat   v prostoru kvadraticky integrovatelných funkcí. Protože tento prostor je Hilbertův prostor s dobře definovaným skalárním součinem, můžeme zavést bázi, v níž lze   reprezentovat jednorozměrným polem (tj. vektorem) a   maticí. To nám umožňuje reprezentovat Schrödingerovu rovnici v maticovém tvaru.

Pro zápis se často používá Diracova notace. Vektor, který reprezentuje stav systému v Hilbertově prostoru kvadraticky integrovatelných funkcí, je reprezentován  . S použitím této notace lze Schrödingerovu rovnici zapsat takto:

 

kde   je vlastní stav   (který někteří autoři značí  ) a   reprezentuje vlastní číslo.   je pozorovatelný samoadjungovaný operátor, nekonečněrozměrná obdoba Hermitovské matice. Stejně jako v maticovém případě chápeme ve výše uvedené rovnici   jako vektor získaný aplikací transformace   na  .

OdkazyEditovat

ReferenceEditovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Eigenvalues and eigenvectors na anglické Wikipedii.

Související článkyEditovat