Hustota pravděpodobnosti

Hustota pravděpodobnosti (hustota rozdělení pravděpodobnosti, anglicky Probability Density Function, PDF) v teorii pravděpodobnosti je funkce jejíž integrací na kterémkoli vzorku (podmnožině prostoru elementárních jevů) vyjde relativní pravděpodobnost, že hodnota náhodné proměnné by se rovnala tomuto vzorku.[1] Hodnota PDF ve dvou různých vzorcích spojité náhodné proměnné může být při libovolném náhodném pokusu použita k porovnání, o kolik pravděpodobnější je, že náhodná proměnná by se rovnala jednomu vzorku ve srovnání s druhým vzorkem. Přitom absolutní pravděpodobnost, že spojitá náhodná proměnná nabyde přesně jakékoli konkrétní hodnoty je 0, protože existuje nekonečná množina možných hodnot, které mohou nastat. (Pro spojitou náhodnou veličinu také obecně neplatí, že i její hustota pravděpodobnosti je spojitá.)

PDF se používá ke stanovení pravděpodobnosti , že náhodná proměnná spadá do určitého intervalu hodnot namísto libovolné jediné hodnoty. Tato pravděpodobnost je určena integrálem PDF této proměnné nad uvedeným rozsahem, který si lze představit jako plochu ohraničenou funkcí hustoty a vodorovnou osou, a mezi nejnižší a nejvyšší hodnotou daného intervalu. Funkce hustoty pravděpodobnosti je všude nezáporná a její integrál v celém prostoru je roven 1.

Termín funkce rozdělení pravděpodobnosti se může vztahovat i na kumulativní distribuční funkci, nebo se může jednat spíše o funkci pravděpodobnosti (PMF) než hustotu. Samostatný termín funkce hustoty se také používá pro funkci pravděpodobnosti, což vede k dalšímu zmatku.[2] Obecně se v kontextu diskrétních náhodných proměnných (náhodných proměnných, které berou hodnoty na spočetné množině) používá termínu funkce pravděpodobnosti (PMF), zatímco hustota pravděpodobnosti (PDF) se používá v souvislosti se spojitými náhodnými proměnnými.

DefiniceEditovat

Je-li   hustota pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny  , pak platí

 ,

kde   je definiční obor veličiny  . Pro hodnoty   mimo definiční obor   je hustota pravděpodobnosti nulová, takže   pro  .

Ze znalosti hustoty pravděpodobnosti   je možné určit pravděpodobnost, že náhodná veličina   nabývá hodnotu z intervalu  , tedy

 

VlastnostiEditovat

Pravděpodobnost, že spojitá náhodná veličina nabývá určité (přesně dané) hodnoty, je nulová, což plyne z definice výše. Důsledkem toho je, že pro spojitou náhodnou veličinu platí vztahy

 

Na rozdíl od pravděpodobnosti může funkce hustoty pravděpodobnosti nabývat hodnoty větší než jedna. Například rovnoměrné rozdělení na intervalu [0, ½] má hustotu pravděpodobnosti f(x) = 2 pro 0 ≤ x ≤ ½ a f(x) = 0 v ostatních případech.

Lze dokázat, že mezi hustotou pravděpodobnosti   a distribuční funkcí   platí vztah

 ,

pokud derivace distribuční funkce v daném bodě   existuje.

Standardní normální rozdělení má hustotu pravděpodobnosti

 

Související článkyEditovat

ReferenceEditovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Probability density function na anglické Wikipedii.

  1. GRINSTEAD, Charles M.; SNELL, J. Laurie. Grinstead & Snell, Úvod do pravděpodobnosti. [s.l.]: Orange Grove Texts, 2009. ISBN 161610046X. Kapitola Conditional Probability - Discrete Conditional. (anglicky) 
  2. Ord, J.K. (1972) Skupiny distribucí četnosti, Griffin. ISBN 0-85264-137-0 (například tabulka 5.1 a příklad 5.4)