Vektorový podprostor

Základním pojmem lineární algebry jako disciplíny je vektorový prostor, tedy jistý, přesně specifikovaný, druh množiny. Stejně jako v případě každé libovolné množiny, můžeme i v případě vektorového prostoru uvažovat jeho podmnožiny. Budeme-li však chtít, aby podmnožina vektorového prostoru měla opět lineární strukturu, musíme na její volbu naklást jisté podmínky. Konkrétně jsou z matematického hlediska zajímavé ty podmnožiny vektorového prostoru, které jsou samy vektorové prostory. Takovýmto podmnožinám říkáme vektorové podprostory původního vektorového prostoru (angl. linear subspace či vector subspace). Obyčejně se přívlastek vektorový vynechává a říká se prostě podprostor (i v angličtině se běžně přívlastek vynechává a říká se pouze subspace).

DefiniceEdit

Mějme vektorový prostor   nad tělesem  . Dále buď   neprázdná podmnožina prostoru  , která splňuje

  1.  
  2.  

Pak množinu   nazýváme podprostorem vektorového prostoru   a značíme  . Někdy se také místo názvu podprostor používá název vektorový modul.

Výše uvedené podmínky v podstatě požadují, aby množina   byla uzavřená vzhledem k operacím sčítání vektorů a násobení vektoru prvkem z tělesa. Množinově je lze zapsat jako

  1.  ,
  2.  ,

kde obecně součtem   dvou podmnožin  ,   vektorového prostoru   chápeme množinu všech vektorů tvaru  , kde   a  . Násobkem tělesa   a podmnožiny   vektorového prostoru   (definovaného nad  ) chápeme množinu všech vektorů tvaru  , kde   a   (viz též oddíl Vektorové operace s množinami v článku Vektorový prostor).

Je snadné ukázat, že množina obsahující jen nulový prvek, tj.   (neplést s prázdnou množinou) je podprostorem každého vektorového prostoru (v každém vektorovém prostoru je axiomaticky zaveden nulový prvek). Stejně tak je zřejmé, že i vektorový prostor je sám sobě podprostorem. Tyto dva speciální, degenerované, případy podprostorů se nazývají triviální podprostory. Všechny podprostory vektorového prostoru   vyjma vektorového prostoru samotného se pak nazývají vlastními podprostory[pozn. 1] vektorového prostoru  . Podprostor   je občas nazýván nulový podprostor. Nulový podprostor je zřejmě vlastním podprostorem každého vektorového prostoru   pokud  .

Z podmínek výše je ihned patrno, že nulový vektor vektorového prostoru je určitě přítomen i v každém jeho podprostoru (stačí ve druhé podmínce položit   a   nechat libovolný). Uvažujme nyní podprostor   vektorového prostoru  . Na vektorovém prostoru jsou definovány operace sčítání vektorů a násobení vektoru prvkem z tělesa. Dále můžeme uvažovat zúžení těchto operací na podprostor  , který je vůči nim z definice uzavřený. Zanalyzujeme-li vlastnosti podprostoru   s takto zúženými operacemi, tak zjistíme, že   je vektorový prostor. To je velmi důležité zjištění.

Není těžké též dokázat v podstatě obrácenou implikaci. Mějme neprázdnou podmnožinu   vektorového prostoru   a uvažujme na ní zúžení operací sčítání vektorů a násobení vektoru prvkem z tělesa, které jsou definovány původně na celém  . Pokud je množina   vektorovým prostorem, pak je nutně podprostorem prostoru  , jak plyne ihned z definičních podmínek výše.

VlastnostiEdit

Alternativní definiční podmínky podprostoruEdit

  • Buď   vektorový prostor nad tělesem   a   jeho neprázdná podmnožina. Pak následující tvrzení jsou ekvivalentní:
  1.  
  2.  
  3.  
Druhé tvrzení lze množinově zapsat ve tvaru  .
Důkaz: Dokážeme řetězec implikací  . Začněme tedy s implikací  . Množinové definiční podmínky podprostoru zní   a   a my víme z předpokladů, že   je podprostor a tedy tyto podmínky splňuje. Dohromady tedy  , což je množinové vyjádření tvrzení 2. Implikaci   dokážeme matematickou indukcí. Nyní je třeba si uvědomit, že máme v rukou pouze tvrzení 2 a nevíme tedy, zda je   podprostor vektorového prostoru  . Víme pouze, že to je nějaká jeho podmnožina. Dokažme nejdříve, že v   leží nulový vektor  . Množina   je neprázdná, vezměme z ní tedy libovolně nějaký její prvek  . Na volbu prvku z tělesa nemáme omezení a vezměme tedy  . Tvrzení 2 pak dává  , tj.  . Už víme tedy, že  . Ukažme teď první krok indukce, tj. nechť   a chceme dokázat   pro libovolné   a  . Platí ale  , což je vektor ve tvaru, který podle tvrzení 2 spadá do množiny  . Dokažme dále indukční krok, tj. nechť všechny vektory tvaru   leží v množině   a vezměme libovolné   a  . Pak ale  , což je opět vektor tvaru vyhovujícího tvrzení 2. Suma   tedy leží v  . Dokažme konečně implikaci  . Položíme-li   ve vzorci v tvrzení 3, tak dostáváme druhou definiční podmínku podprostoru. Pokud navíc zvolíme   a  , tak ihned dostáváme i první definiční podmínku podprostoru. Důkaz věty je tak dokončen.

Rovnosti a inkluzeEdit

  • Mějme vektorový prostor   nad tělesem   a jeho podprostor  . Dále buď   podprostor množiny   chápané jako vektorový prostor. Pak   je podprostorem prostoru  . V matematické notaci tedy
 .
Důkaz: Zřejmý z definičních podmínek podprostoru. Zúžení operací již jednou zúžených je opět nějaké zúžení operací definovaných na původním vektorovém prostoru.
  • S použitím množinové symboliky platí následující rovnosti
  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
Důkaz: V prvních třech rovnostech inkluze zleva doprava rovnou plynou z definičních podmínek, resp. z tvrzení výše. Pro důkaz opačných inkluzí uvažujme vektor  . V rovnosti 1 lze pak za vektor v prvním prostoru   brát samotné   a ve druhém prostoru   stačí vzít nulový vektor. V rovnosti 2 lze k důkazu inkluze zprava doleva položit prvek   z tělesa   rovno jedné. V rovnosti 3 pak postupujeme analogickým způsobem. K důkazu rovnosti 4 využijme toho, že bereme   a můžeme jím tedy dělit. Inkluze zleva doprava plyne z definice podprostoru. Pro důkaz opačné inkluze vezměme  . Za vektor v prostoru   na levé straně rovnosti pak stačí vzít vektor  .
  • Součet dvou podprostorů vektorového prostoru   je podprostor prostoru  , tj.
 
Speciálně součet dvou podprostorů je direktní, právě když mají oba podprostory společný jen nulový vektor. To jest
 
Důkaz: Zřejmě je  . Využijme tvrzení výše:  , čímž jsme dokázali první vlastnost. Nyní k důkazu druhé části tvrzení týkající se direktního součtu. Předpokládejme pro důkaz implikace zleva doprava, že součet   je direktní. V průniku těchto podprostorů leží určitě nulový vektor. Kdyby tam ležel i nenulový vektor  , tak určitě   a současně  . Potom ale můžeme vyjádřit nulový vektor   jako součet vektoru z   a vektoru   dvěma způsoby. Sice  . To je však spor s direktností součtu  . Dokažme nyní implikaci zprava doleva. Předpokládejme, že   a přitom součet   není direktní. Takže existuje vektor  , který lze vyjádřit alespoň dvěma různými způsoby jako  , kde   a   a navíc   a  . Pak ale  , kde   a  . Mám tak nenulový vektor nacházející se v průniku  , což je spor s předpoklady.
  • Průnik libovolného (konečného i nekonečného) počtu podprostorů vektorového prostoru   je podprostor ve  . Uvažujme tedy   neprázdný systém podprostorů ve  , kde   je neprázdná indexová množina. Pak
 
Speciálně, průnik dvou podprostorů je opět podprostor.
Důkaz: Označme si nejprve průnik podprostorů ve vztahu výše jako  . Množina   je neprázdná, neboť v ní určitě leží nulový vektor (ten je totiž obsažen v jakémkoli podprostoru). Protože je   průnik podprostorů  , jedná se určitě o podmnožinu libovolného z  . Pro každé   tedy platí  , kde druhá inkluze plyne z toho, že   je podprostor a z tvrzení výše. Máme tedy pro každé   inkluzi  , takže i  . Uvedený průnik podprostorů jsme si ale označili jako  , tj.   a z tvrzení výše plyne, že   je podprostor.

Dimenze podprostorů ve vztahu k celkovému vektorovému prostoruEdit

  • Dimenze podprostoru   vektorového prostoru   nemůže překročit dimenzi prostoru  , tj.
 
Pokud je navíc   konečnědimenzionální a   je vlastní podprostor, tak je dimenze   ostře menší než dimenze  . To jest
 
Důkaz: Je-li   nekonečněrozměrný, pak první část tvrzení zjevně platí. Mějme nyní   a  . Nechť v   existuje   lineárně nezávislých vektorů. Protože je   podmnožina  , tak jsou tyto vektory lineárně nezávislé i v prostoru  , což je spor s tím, že dimenze   je rovna  . Pro důkaz druhé části tvrzení nechť  . V   tedy existuje  -členná báze  . V tuto chvíli mohou nastat dvě situace, buď je   a pak zřejmě  , anebo je   vlastním podprostorem  . Ve druhém zmiňovaném případě tedy existuje vektor  , který neleží v  . Množina vektorů   je tedy lineárně nezávislá a současně je podmnožinou vektorového prostoru  , který tak musí mít dimenzi rovnou alespoň  , tj.  . Takže  , což bylo dokázat.
  • První věta o dimenzi: Nechť   jsou konečnědimenzionální podprostory vektorového prostoru  , pak
 
Pro direktní součet podprostorů pak speciálně
 
Důkaz: viz článek o první větě o dimenzi.

Souvislost s lineárním obalemEdit

Mějme nyní vektorový prostor   a v něm množinu vektorů   pro jisté  . V následujících několika tvrzeních se budeme zabývat vlastnostmi lineárního obalu těchto vektorů.

  • Lineární obal vektorů je podprostorem v prostoru  . To jest
 
Důkaz: Plyne snadno z uzavřenosti lineárního obalu na sčítání vektorů a násobení vektoru prvkem z tělesa.
  • Dimenze lineárního obalu coby vektorového prostoru je vždy menší nebo rovna počtu generátorů. Neboli
 
Přitom dimenze lineárního obalu je rovna počtu svých generátorů právě když jsou generátory lineárně nezávislé (LN), tj.
 
Důkaz: Plyne z definice dimenze vektorového prostoru.
  • Lineární obal vektorů je nejmenší podprostor prostoru  , který tyto vektory obsahuje. Neboli
 
Důkaz: Nejdříve inkluze zleva doprava. Mějme libovolně zvolený vektor   z lineárního obalu. Chceme o něm ukázat, že leží v průniku podprostorů na pravé straně rovnosti výše. Vektor   lze zjevně vyjádřit jako lineární kombinaci generátorů lineárního obalu, tj. ve tvaru  . Protože ale v průniku vystupují podprostory obsahující všechny tyto generátory a podprostory jsou uzavřené na součty a násobení prvkem z tělesa, tak   nutně leží v každém podprostoru   vystupujícím v průniku. To znamená, že   leží i v průniku samotném. Dokažme nyní opačnou inkluzi. Lineární obal zadaných vektorů je sám podprostor, který tyto vektory obsahuje. Vystupuje tedy jako jeden z podprostorů  , přes něž se dělá průnik. Jenomže průnik množiny s nějakou jinou množinou je nutně menší nebo roven původní množině. Máme tedy dokázanou i opačnou inkluzi.

PříkladyEdit

Příklad 1 — Lineární obalEdit

Typickým příkladem podprostorů jsou lineární obaly vektorů z daného vektorového prostoru. Uvažujme například vektorový prostor   aritmetických vektorů nad tělesem reálných čísel, tj. prostor n-tic reálných čísel. Dále nechť  . Zvolme si ve   libovolně nějaký nenulový vektor  . Pak nejjednodušší netriviální podprostor ve   je lineární obal takovéhoto jednoho libovolně zvoleného nenulového vektoru:

 

kde symbolem   značíme lineární obal. Lineární obal jednoho nenulového vektoru lze interpretovat jako přímku. Pro bližší informace viz oddíl Geometrická interpretace v článku lineární obal, ve kterém jsou uvedeny další příklady lineárních obalů coby podprostorů (oddíl Příklady). Podobně lineární obal dvou nenulových, vzájemně lineárně nezávislých vektorů,

 

lze interpretovat jako rovinu ve  . Takto můžeme přidávat další lineárně nezávislé vektory, až dostaneme lineární obal   lineárně nezávislých vektorů

 

Tento je zjevně roven celému prostoru  , jehož dimenze je  .

Na příkladu lineárních obalů se dá dále názorně ukázat tvorba nových podprostorů pomocí součtu či průniku podprostorů jiných. Mějme ve výše uvedeném vektorovém prostoru   dva podprostory   tvaru

 

Pak jejich součtem, resp. průnikem, dostanu podprostory ve tvaru

 

Příklad 2 — Prostor funkcíEdit

Oproti předchozímu příkladu uvažujme nyní vektorový prostor nekonečné dimenze. Konkrétně budeme brát množinu všech reálných funkcí reálné proměnné, tj. funkcí tvaru  . Nadále budeme tuto množinu opět značit jako  . Máme tedy

 

Na této množině si můžeme zavést sčítání dvou funkcí   jako

 

Součtem dvou funkcí   a   je tedy funkce, jejíž hodnota je v každém bodě   rovna součtu hodnot   a  . Obdobně zavedeme operaci násobení funkce   reálným číslem   jako

 

Není těžké ověřit, že množina   s právě definovanými operacemi sčítání dvou funkcí a násobení funkcí číslem skutečně tvoří vektorový prostor. V tomto prostoru můžeme uvažovat různé podprostory. Za všechny uveďme dva.

  • Množina všech spojitých funkcí z   tvoří podprostor ve  . Skutečně, není těžké dokázat, že součet dvou spojitých funkcí je opět spojitá funkce. Podobně násobek spojité funkce je opět spojitá funkce. Jsou tedy splněny obě definiční podmínky podprostoru z oddílu Definice výše (množina spojitých funkcí je určitě neprázdná, obsahuje přinejmenším nulovou funkci). Platí tedy
 
  • Množina všech omezených funkcí z   tvoří podprostor ve  . Podobně jako v předešlém příkladu je součet dvou omezených funkcí zjevně funkce omezená a totéž platí pro násobek omezené funkce. Platí tedy
 

Příklad 3 — Posloupnosti číselEdit

Uvažujeme-li množinu všech posloupností reálných čísel, kterou budeme v tomto příkladu opět značit  , a zavedeme-li na ní operace sčítání a násobení číslem podobně jako v předchozím příkladě, tak lze snadno ukázat, že bude tvořit vektorový prostor. Máme tedy množinu posloupností

 

Množina všech posloupností z  , které konvergují, tvoří podprostor ve  . Z vlastností limity posloupností totiž pro každé dvě konvergentní posloupnosti   a   plyne, že

 

Součet dvou konvergentních posloupností je tedy opět konvergentní posloupnost. Podobně pro násobek konvergentní posloupnosti.

Naproti tomu množina všech posloupností, které divergují, podprostor ve   netvoří. Jako protipříklad můžeme uvážit dvě jednoduché divergentní posloupnosti   a  , pro jejichž prvky platí

 

Součet těchto řad přitom zjevně konverguje, protože je roven posloupnosti nul. Kdyby množina všech divergentních posloupností tvořila podprostor tak by součet dvou divergentních posloupností musela být opět posloupnost divergentní. Právě jsme ale ukázali, že to nemusí být vždy pravda.

Příklad 4 — Lineární zobrazeníEdit

Mějme nyní zadán nějaký vektorový prostor   (nad tělesem  ) a na něm uvažujme definována různá lineární zobrazení, která zobrazují zpátky do  . Neboli, uvažujme množinu všech lineárních operátorů definovaných na vektorovém prostoru  . Tuto množinu budeme značit  . Platí tedy

 

Na množině   zavedeme součet dvou lineárních zobrazení a násobení lineárního zobrazení reálným číslem podobně jako v příkladu 2. Opět bychom dokázali, že množina   s takto definovanými operacemi je vektorový prostor.

Nechť je vektorový prostor  , na němž máme definována lineární zobrazení, dimenze alespoň 2, tj.  . Existuje v něm tedy vlastní netriviální podprostor, označme ho jako  . Uvažujme nyní množinu těch lineárních zobrazení z  , která dávají potenciálně nenulovou hodnotu pouze na vektory z podprostoru   (neboli uvažujme ta lineární zobrazení, jejichž nosič leží v  ). Označme si tuto množinu jako  . Platí tedy

 

kde symbol   značí nosič zobrazení  . O množině   lze také snadno ukázat, že tvoří podprostor v prostoru  . Libovolný násobek lineárního zobrazení, které dává nulu na všechny vektory z  , jež neleží v  , je opět zobrazení se stejnými vlastnostmi. Podobně součet dvou lineárních zobrazení, která jsou nulová vně podprostoru   je opět zobrazení, které je nulové vně podprostoru  . Máme tak ověřeno, že  . Protože jsme si navíc zvolili podprostor   jako vlastní podprostor prostoru  , tak existují lineární zobrazení z  , která neleží v   a   je tak vlastní podprostor prostoru  .

Příklad 5 — Jádro lineárního zobrazeníEdit

Uvažme nyní lineární operátor   z vektorového prostoru   definovaného v příkladu výše. Množinu všech vektorů z  , na které dá zobrazení   nulový vektor, se nazývá jádro zobrazení   a značí se  . Neboli

 

Opět ukážeme, že jádro zobrazení   je podprostor vektorového prostoru  . Neboť

 

kde jsme ověřili obě podmínky podprostoru naráz v souladu s tvrzením výše. Jádro libovolného lineárního zobrazení tedy tvoří podprostor jeho definičního oboru.

PoznámkyEdit

  1. V této souvislosti je třeba upozornit na malou nejednoznačnost v názvosloví. Pojmem vlastní podprostor se někdy též označuje prostor generovaný vlastními vektory lineárního zobrazení pro jedno jeho jisté vlastní číslo.

OdkazyEdit

Související článkyEdit

Externí odkazyEdit

LiteraturaEdit

  • PYTLÍČEK, Jiří. Lineární algebra a geometrie. Praha: Česká technika - nakladatelství ČVUT, 2008. ISBN 978-80-01-04063-8.  – skripta FJFI ČVUT
  • BLANK, Jiří; EXNER, Pavel; HAVLÍČEK, Miloslav. Lineární operátory v kvantové fyzice. Praha: Karolinum, 1993. ISBN 80-7066-586-6.