Kroneckerovo delta

Kroneckerovo delta je matematická funkce dvou proměnných, obvykle celých čísel. Je pojmenovaná po Leopoldu Kroneckerovi (1823-1891). Tato funkce se rovná 1, když se proměnné rovnají, a 0 v ostatních případech. Tak například $\delta _{12}=0$, ale $\delta _{33}=1$. Zapisuje se symbolem pomocí řeckého písmene delta: δ_ij, a je pokládáno spíše za zkrácený zápis než za funkci.

$\delta _{ij}=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{je-li }}i=j\\0&{\mbox{je-li }}i\neq j\end{matrix}}\right.$

nebo, při použití Iversonových závorek:

$\delta _{ij}=[i=j]\,$

Vlastnosti delta funkce

Kroneckerovo delta má tzv. sítové vlastnosti, totiž pro $j\in \mathbb {Z}$:

$\sum _{i=-\infty }^{\infty }\delta _{ij}a_{i}=a_{j}.$

Tato vlastnost se podobá jedné z hlavních vlastností Diracovy delta funkce:

$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-y)f(x)dx=f(y),$

a ve skutečnosti byla Diracova delta funkce pojmenována podle Kroneckerova delta, protože má analogické vlastnosti. Kroneckerovo delta se používá v mnoha oblastech matematiky. Například v lineární algebře lze jednotkovou matici napsat jako $\delta _{ij}\,$ zatímco tenzor, Kroneckerův tenzor, lze napsat $\delta _{i}^{j}$ s kontravariantním indexem j. To je přesnější způsob zápisu jednotkové matice, považované za lineární zobrazení.

Zobecnění delta funkce

Ve stejném duchu můžeme analogicky definovat vícedimenzionální funkci mnoha proměnných

$\delta _{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n}}^{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{n}}:=\prod _{k=1}^{n}\delta _{i_{k},j_{k}}$.

Tato funkce nabývá hodnotu 1 tehdy a jen tehdy, když všechny horní indexy jsou stejné jako dolní indexy, a nabývá hodnotu nula ve všech ostatních případech.

Kroneckerovo delta jako tenzor

V diferenciální nebo Riemannově geometrii se využívá obecnější zavedení Kroneckerova delta - zavádí se jako tenzor druhého řádu, který je na varietě M definován jako

$\delta _{\underline {n}}^{\underline {m}}=\delta _{j}^{i}\ {\boldsymbol {\mathrm {d} }}_{\underline {n}}x^{j}\otimes {\frac {{\boldsymbol {\partial }}^{\underline {m}}}{{\boldsymbol {\partial }}x^{i}}},$

nebo v souřadnicovém zápisu jen jako $\delta _{j}^{i}$ tak, že $\delta _{j}^{i}=1$ je-li $i=j\,$ a $\delta _{j}^{i}=0$ jinak. Takto zavedený objekt se chová jako tenzor a jeho hodnota je stejná ve všech soustavách souřadnic. Pokud indexy $\delta$ snížíme, nebo zvýšíme, může být hodnota $\delta ^{ij}$, resp. $\delta _{ij}$, obecně jiná.

Související články

• Levi-Civitův symbol
• Diracovo delta
• Diracova míra
• izotropní tenzor

Portály: Matematika