Tenzor

v matematice objekt, který je zobecněním pojmu vektor

Tenzor je v matematice objekt, který je zobecněním pojmu vektor. Zatímco složky vektoru je možné označit jedním indexem, tenzor může mít více indexů, např. .

Jako tenzor T se označuje soubor reálných a nebo komplexních čísel (počet indexů je n), které se nazývají složky (komponenty) tenzoru a které se při transformaci souřadnic transformují následujícím způsobem:

Tato transformace tenzorů je multilineární zobrazení, tedy zobrazení, které je lineární v každé složce. Podobně jako vektor je tenzor, jakožto samostatný objekt vůči reprezentaci v dané soustavě souřadnic invariantní. Jeho složky (tedy konkrétní reprezentace) však, stejně jako u vektoru, závisí na volbě souřadnic.

Pokud n je počet indexů tenzoru T, nazýváme T tenzorem n-tého řádu. Rozlišujeme pak dále indexi kovariantní (dolní) a kontravariantní (horní). Má-li tenzor n kovariantních a m kontravariantních složek jeho index je n+m a jedná se o tenzor typu (n,m). Metrický tenzor má dvě kovariantní složky, jeho index je tak 2 a typ (0,2). Důvodem pro rozlišování kovariantních a kontravariantních složek je jejich vzájemná odlišnost v transformačních pravidlech.

Část matematiky, která při své práci používá tenzory, se označuje jako tenzorový počet. Tenzory se uplatňují nejen v matematice, ale i ve fyzice.

Máme-li např. dva vektory , můžeme z nich vytvořit tenzor druhého řádu, jehož složky budou určeny vztahem . Tenzorový charakter je možné ověřit na základě transformačních pravidel pro vektory, tzn.

Speciálními případy tenzorů jsou tenzory nultého řádu, které se označují jako skaláry, a tenzory prvního řádu, tedy vektory.

Ve fyzice se tenzory druhého řádu obvykle reprezentují jako matice, ale ne všechny matice jsou fyzikálně smysluplnými tenzory.[1]

DefiniceEditovat

Mějme vektorový prostor   nad tělesem   a k němu jeho duální prostor  . Tenzor   typu (n,m) je zobrazení

 

(  m-krát   n-krát), které je lineární v každém ze svých n+m argumentů.

Je nutné dodat, že pořadí vektorového prostoru po jeho duálu je častější v anglické literatuře a naopak méně časté v tuzemní.

OdkazyEditovat

ReferenceEditovat

  1. Are Square Matrices Always Tensors?: A Counter Example [online]. Andrew Dotson – Youtube, 2018-11-09 [cit. 2021-04-28]. Video. Dostupné online. (anglicky) 

Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat