Hamiltonův operátor

Hamiltonův operátor (Hamiltonián) je diferenciální operátor na Hilbertově prostoru komplexních vlnových funkcí. Je pojmenován po siru W. R. Hamiltonovi a značí se ${\hat {H}}$ . Hamiltonián (tímto pojmem se také označuje původní Hamiltonova funkce v klasické mechanice) je operátor energie v kvantové mechanice, který ve většině případů odpovídá celkové energii soustavy. Jeho význam je dán spojitostí s popisem časového vývoje v kvantové mechanice, viz Schrödingerova rovnice. Dále pak tím, že možné hodnoty energie, kterých může nabýt systém popsaný hamiltoniánem ${\hat {H}}$ , patří do jeho spektra.

Odvození klasického tvaru

Pro bodovou částici je její celková mechanická energie součtem kinetické a potenciální energie. Operátor kinetické energie získáme dosazením operátoru hybnosti ( ${\hat {\mathbf {p} }}=-i\hbar \nabla$ ) do klasického vztahu $T={\frac {1}{2}}m\mathbf {v} ^{2}={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}$ . Hamiltonián pak můžeme zapisovat výhodně ve tvaru

{\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta +V\,,

kde $m$ je hmotnost částice, $\Delta =\nabla ^{2}=\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)$ je Laplaceův operátor a $V=V({\mathbf {r} },t)$ je potenciální energie silového pole, v němž se částice pohybuje. Hamiltonián v této podobě je klíčovou součástí Schrödingerovy rovnice. Ta popisuje vývoj vlnové funkce v čase, který interpretujeme jako pohyb částice, jde tedy o kvantovou rovnici pohybu.

Spektrum

Spektrum Hamiltoniánu vyjadřuje možné hodnoty energie částice. Například pro elektron v elektrickém poli protonu známe průběh potenciální energie z Coulombova zákona. Hamiltonián má tedy tvar

{\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{e}}}\Delta -{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{r}}\,,

kde $m_{e}$ je hmotnost elektronu, $e$ je elektrický náboj elektronu, $\pi$ je Ludolfovo číslo, $\varepsilon _{0}$ je permitivita vakua a $r$ je vzdálenost od protonu. Spektrum tohoto operátoru dává možné energie

E_{n}=-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{2a_{B}}}{\frac {1}{n^{2}}}\,,

kde $a_{B}$ je tzv. Bohrův poloměr (0,53×10⁻¹⁰ m) a $n$ je kvantové číslo. Rozdíly mezi těmito hladinami přesně odpovídají pozorovanému absorpčnímu spektru nejjednoduššího prvku v přírodě - vodíku. Záporné znaménko energie odpovídá vázanému stavu - na ionizaci atomu vodíku v základním stavu je třeba dodat kladnou energii E₁=2,179×10⁻¹⁸ J.

Relativistická verze

Schrödingerova rovnice s výše uvedeným výrazem pro Hamiltonián není invariantní vůči Lorentzově transformaci, takže je nesprávná z hlediska teorie relativity. V relativistické mechanice je výraz pro energii složitější, takže musí být modifikován i Hamiltonián. Jeden z možných přístupů k tomuto zpřesnění lze nalézt v hesle Diracova rovnice, kde je i relativisticky opravený výraz pro Hamiltonián.

{\hat {H}}=\,\gamma _{0}m+\sum _{j=1}^{3}\gamma _{j}p_{j}\,,

kde $p_{j}$ jsou souřadnice vektoru hybnosti a $\gamma _{i}$ jsou vhodně zvolené matice. V Diracově (standardní) reprezentaci jsou to matice

\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I&0\\0&-I\end{pmatrix}}\,,

\gamma ^{i}={\begin{pmatrix}0&{\sigma }_{i}\\-{\sigma }_{i}&0\end{pmatrix}}\,.

${\sigma }_{i}$ jsou přitom Pauliho matice a $I$ značí jednotkovou matici 2×2.

Komutování s jinými operátory

Vodíkový hamiltonián (nebo hamiltonián vodíku podobného atomu, tzn. s jedním elektronem) uvedený výše komutuje s operátory kvadrátu momentu hybnosti L² a každou jeho složkou. Jednotlivé složky momentu hybnosti ale nekomutují mezi sebou, proto je řešení atomů určeno třemi kvantovými čísly.

Víceelektronové atomy mají hamiltonián skládající se z několika jednoelektronových a dále pak z členů odpovídající vzájemné coulombické interakci mezi jednotlivými elektrony. Např. Lithium má hamiltonián

${\hat {H}}=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{e}}}\Delta _{1}-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{r_{1}}}\right)+\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{e}}}\Delta _{2}-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{r_{2}}}\right)+\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{e}}}\Delta _{3}-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{r_{3}}}\right)+$

+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{r_{12}}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{r_{13}}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{r_{23}}}

S tímto hamiltoniánem komutují operátory orbitálního momentu hybnosti $L=L_{1}+L_{2}+L_{3}$ (což plyne z vyjádření ${\overrightarrow {L}}={\overrightarrow {r}}\times {\overrightarrow {p}}$ a z toho, že ${\overrightarrow {r}}\times {\overrightarrow {n}}={\overrightarrow {0}}$ ) i $L_{z}=L_{z1}+L_{z2}+L_{z3}$ , opět máme tedy tři kvantová čísla.

Dále Hamiltonián často komutuje s operátory spinů nebo prohození částic.

Literatura

HRIVŇÁK, DANIEL. DIFERENCIÁLNÍ OPERÁTORY VEKTOROVÉ ANALÝZY. [s.l.]: OSTRAVSKÁ UNIVERZITA, 2002. Dostupné online. Archivováno 6. 9. 2023 na Wayback Machine.