Otevřít hlavní menu

Hamiltonova funkce (též označovaná jako hamiltonián - pod tímto pojmem však bývá obvykle myšlen Hamiltonův operátor) označuje ve fyzice funkci vyjadřující energii fyzikálního systému v zobecněných souřadnicích a hybnostech.

Hamiltonova funkce hraje důležitou úlohu v Hamiltonovské formulaci mechaniky.

Funkce je pojmenována po Williamu Rowanu Hamiltonovi.

Obsah

DefiniceEditovat

Hamiltonova funkce mechanického systému s   stupni volnosti je definována vztahem:

 ,

kde   je Lagrangeova funkce systému a na pravé straně jsou zobecněné rychlosti   vyjádřené jako funkce zobecněných souřadnic  , zobecněných hybností   a případně času  , tzn.

 .

VlastnostiEditovat

Hamiltonova funkce se nemění při pohybu, u kterého Lagrangeova funkce není explicitně závislá na čase. Dosadí-li se totiž Lagrangeovy pohybové rovnice do totální derivace Lagrangeovy funkce:

 ,

poslední člen je vzhledem k explicitní nezávislosti lagrangiánu nulový, a dosadí-li se Lagrangeovy pohybové rovnice, vychází:

 

Lagrangeovu funkci   lze získat z Hamiltonovy funkce   dosazením za   zobecněných souřadnic, rychlostí a času podle Hamiltonových rovnic.

Přechod od Lagrangeovy k Hamiltonově funkci, tedy přechod od proměnných   k proměnným  , se nazývá Legendreova duální transformace.

Hustota hamiltoniánuEditovat

Zejména v kvantové teorii pole se používá hustota hamiltoniánu, vyjadřující jeho prostorové rozložení. Vzájemná souvislost je dána vztahem

 

Jednoduché příkladyEditovat

 
 
  • Hamiltonova funkce relativistické částice (pro nenabitou částici odpadá člen s  ):
 

LiteraturaEditovat

  • BRDIČKA, Miroslav; HLADÍK, Arnošt. Teoretická mechanika. Redakce Karel Juliš, Aleš Baďura, Petr Čech. 1. vyd. Praha: Academia, 1987. 584 s. 21-093-87. Kapitola 3.10.1 Hamiltonovy rovnice, 3.10.2 Legendrova duální transformace, s. 329-330. 
  • LEECH, J. W. Klasická mechanika. 1. vyd. Praha: SNTL, 1970. 136 s. (Teoretická knižnice inženýra). 04-012-70. Kapitola Hamiltonova funkce, s. 45-46. 

Související článkyEditovat