Elektrický potenciál

Elektrický potenciál je skalární fyzikální veličina, která popisuje potenciální energii jednotkového elektrického náboje v elektrostatickém poli. Jedná se o potenciál elektrického pole, tj. množství práce potřebné pro přenesení jednotkového elektrického náboje ze vztažného místa o nulovém potenciálu (tzv. vztažný bod) do daného místa. Za místo s nulovým potenciálem se obvykle bere buď nekonečně vzdálený bod nebo povrch Země. Rozdíl potenciálů dvou bodů je roven napětí mezi danými body.

Značka:

Jednotka SI: volt, značka

DefiniceEditovat

Potenciál bodového náboje   umístěného v počátku soustavy souřadnic lze vyjádřit vztahem:

 ,

kde   je permitivita prostředí,   je polohový vektor potenciálu   a   je integrační konstanta, která určuje hodnotu potenciálu v nekonečnu. Obvykle se klade  .

Potenciál objemově rozloženého náboje lze vyjádřit vztahem:

 ,

kde   je objem, přes který se integruje a   je objemová hustota náboje.

Tento potenciál je definován ve všech bodech prostoru daného objemu, tedy také v bodech, ve kterých je hustota náboje nenulová. Tím se potenciál spojitě rozloženého náboje odlišuje od potenciálu soustavy diskrétních bodových nábojů. Tento potenciál je navíc všude spojitý a má ve všech bodech prostoru parciální derivaci alespoň prvního řádu, což v souvislosti s intenzitou elektrického pole znamená, že také intenzita pole daná tímto vztahem je definována ve všech bodech prostoru včetně bodů, v nichž je hustota náboje nenulová. Totéž platí pro plošně resp. lineárně rozložené náboje:

Potenciál plošně rozloženého náboje lze vyjádřit vztahem:

 ,

kde   je plocha, přes kterou se integruje a   je plošná hustota náboje.

Potenciál lineárně rozloženého náboje lze vyjádřit vztahem:

 ,

kde   je délka, přes kterou se integruje a   je lineární hustota náboje.

Jelikož elektrický potenciál vyjadřuje potenciální energii na jednotku náboje, je možné jej vyjádřit jako

 ,

kde   je potenciální energie nabitého tělesa a   je jeho náboj.

VlastnostiEditovat

Na základě principu superpozice lze odvodit výraz pro potenciál soustavy   bodových nábojů   , jejichž polohové vektory jsou   :

 .

Potenciál jednoho z bodových nábojů   ze soustavy nábojů    vzhledem k ostatním nábojům soustavy lze určit podle principu superpozice jako

 .


Dosadíme-li do Gaussova zákona elektrostatiky pro spojitě rozložený náboj místo intenzity elektrického pole potenciál, dostaneme:

 ,

tj. pro Laplaceův operátor   dostaneme Poissonovu rovnici  , která je platná ve všech bodech prostoru, v nichž platí Gaussův zákon elektrostatiky. Pokud je v některých bodech prostoru objemová hustota nulová, tj.  , zjednoduší se rovnice na Laplaceova rovnici  .


Záporný gradient potenciálu je roven intenzitě elektrického pole, tj.:

 .

Potenciál elektrostatického pole pak lze chápat jako potenciální energii jednotkového náboje. Položíme-li potenciál v nekonečnu roven nule, tj.  , pak lze psát:

 .


Plocha, na níž si potenciál zachovává svoji hodnotu, tj.  , se nazývá ekvipotenciální plocha. Siločáry jsou vždy kolmé k ekvipotenciální ploše. To lze ukázat diferenciací vztahu  , tj.:

 ,

kde   leží v rovině tečné k ekvipotenciální ploše. Vektory   a   jsou tedy vzájemně kolmé, tzn.   je kolmé k ekvipotenciální ploše.

LiteraturaEditovat

  • SEDLÁK, Bedřich; ŠTOLL, Ivan. Elektřina a magnetismus. 3. vyd. Praha: Karolinum, 2012. 595 s. ISBN 978-80-246-2198-2. 

Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat