Rotace (operátor)

Rotace je matematický operátor definovaný pro vektorové funkce tří proměnných, který v každém bodě udává lokální míru rotace (otáčení) tohoto pole.

Nejběžnějším vektorovým polem s nenulovou rotací je rychlostní pole v řece. Například loďku, která odrazí kolmo od břehu, proud stáčí. Vektorové pole rychlosti proudění má ve všech bodech kromě středu toku nenulovou rotaci.

Definice a označeníEditovat

Operátor rotace se označuje  , případně (hlavně v anglické literatuře)  . Je definován jako   (kombinace operátoru nabla a vektorového součinu), v kartézských souřadnicích má tvar

 
kde v prvním řádku determinantu jsou jednotkové vektory ve směrech souřadných os a  .

Pro výpočet rotace vektorového pole dvou proměnných formálně dodefinováváme třetí komponentu   nulovou.

Využití operátoru rotaceEditovat

Rotace využívá Stokesova věta, která převádí křivkový integrál vektorového pole po uzavřené křivce na plošný integrál rotace tohoto vektorového pole přes libovolnou plochu křivkou ohraničenou.

Je-li rotace vektorového pole nulová, pak se toto pole dá napsat jako gradient skalární funkce (tzv. potenciálu) a nazývá se polem potenciálním.

Rotace vystupuje v řadě fyzikálních zákonů, například v Maxwellových rovnicích.

Vlastnosti rotaceEditovat

Označíme-li F, G vektorová pole, f skalární pole, a,b reálná čísla, potom operátor rotace splňuje následující identity:

Je lineární vůči reálným číslům

 .

Rotace gradientu je nulový vektor

 .

Rotace z vektorového pole násobeného polem skalárním (vektoru funkcí) je

 .

Rotace z vektorového součinu dvou vektorových polí je

 ,

kdežto pro rotaci z rotace vektorového pole F platí

 .

Vyjádření v různých soustavách souřadnicEditovat

Následující vztahy udávají vyjádření rotace v nejrůznějších souřadných soutavách v trojrozměrném prostoru. Je-li F vektorové pole v daných souřadnicích, pak platí

Ve válcových souřadnicích:

 

Ve sférických souřadnicích:

 

Používáme-li obecně ortogonální souřadnice x1,x2,x3, jejíž Laméovy koeficienty jsou po řadě h1,h2,h3

 
 
 

Ve zcela obecných souřadnicích (viz také Souřadnicový zápis vektorů) pro složky vektoru divergence platí

 

kde   je Levi-Civitův pseudotenzor.

Úmluva: Zatímco v předchozím textu jsme za bázi brali ortonormální bázi v daných souřadnicích, ve vzorci v obecných souřadnicích používáme bázi vektorů nebo diferenciálních forem a explicitně vypisujeme jakou. Stejně tak v předchozím textu nerozlišujeme polohu indexů a všechny indexy (ortonormální báze i souřadnic) píšeme dole, zatímco v obecných souřadnicích polohu indexů důsledně rozlišujeme.

Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat