Ortogonální souřadnice

Ortogonální souřadnice (ortogonální soustava souřadnic, též pravoúhlá soustava souřadnic nebo pravoúhlé souřadnice) představují v matematice takový systém souřadnic, v němž jsou v každém bodě souřadné osy navzájem kolmé.

Označení pochází z latiny, kde othos znamená pravý a přípona -gonální znamená -úhlý.

Ortogonální souřadnice lze definovat jako množinu souřadnic $\mathbf {q}$ , jejichž metrický tenzor má pouze diagonální členy, tzn. infinitezimální čtverec vzdálenosti $\mathrm {d} s^{2}$ může být zapsán jako součet čtverců infinitezimálních souřadnicových vzdáleností, tzn.

\mathrm {d} s^{2}=\sum _{k=1}^{D}\left(h_{k}\mathrm {d} q_{k}\right)^{2}

,

kde $D$ je dimenze prostoru a funkce $h_{k}(\mathbf {q} )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {g_{kk}(\mathbf {q} )}}$ (tzv. Laméovy koeficienty) jsou určeny diagonálními prvky metrického tenzoru $g_{ik}(\mathbf {q} )$ .

Vektory a integrály

Ze vztahu pro vzdálenost lze určit infinitezimální změnu ve směru souřadnice $\mathrm {d} q_{m}$ jako $\mathrm {d} s_{m}=h_{k}\mathrm {d} q_{k}$ . Odtud lze získat diferenciál polohového vektoru $\mathbf {r}$ jako

\mathrm {d} \mathbf {r} =\sum _{k=1}^{D}h_{k}\mathrm {d} q_{k}\mathbf {e} _{k}

,

kde $\mathbf {e} _{k}$ jsou jednotkové vektory kolmé (tedy normálové vektory) k plochám konstantních souřadnic $q_{k}$ . Tyto jednotkové vektory jsou tečné k souřadnicovým čarám a tvoří souřadnicové osy lokálního kartézského systému souřadnic.

Vztahy pro skalární a vektorový součin mají v ortogonálním souřadném systému obvyklý tvar, tzn.

\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\sum _{k=1}^{D}A_{k}B_{k}

Tedy např. integrál po křivce ${\mathcal {C}}$ má v ortogonálních souřadnicích tvar

\int _{\mathcal {C}}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =\sum _{k=1}^{D}\int _{\mathcal {C}}F_{k}h_{k}\mathrm {d} q_{k}

,

kde $F_{k}$ je složka vektoru $\mathbf {F}$ ve směru $k$ -tého jednotkového vektoru $\mathbf {e} _{k}$

F_{k}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathbf {e} _{k}\cdot \mathbf {F}

Podobně lze pro infinitezimální element obsahu psát $\mathrm {d} P=\mathrm {d} s_{i}\mathrm {d} s_{j}=h_{i}h_{j}\mathrm {d} q_{i}\mathrm {d} q_{j}$ , kde $i\neq j$ , a pro infinitezimální element objemu $\mathrm {d} V=\mathrm {d} s_{i}\mathrm {d} s_{j}\mathrm {d} s_{k}=h\mathrm {d} q_{i}\mathrm {d} q_{j}\mathrm {d} q_{k}$ , kde $h\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ h_{i}h_{j}h_{k}$ a $i\neq j\neq k$ . Např. integrál přes plochu ${\mathcal {S}}$ ve třírozměrných ortogonálních souřadnicích má tvar