Otevřít hlavní menu

Ortogonální souřadnice (ortogonální soustava souřadnic, též pravoúhlá soustava souřadnic nebo pravoúhlé souřadnice) představují v matematice takový systém souřadnic, v němž jsou v každém bodě souřadné osy navzájem kolmé.

Označení pochází z latiny, kde othos znamená pravý a přípona -gonální znamená -úhlý.

Ortogonální souřadnice lze definovat jako množinu souřadnic , jejichž metrický tenzor má pouze diagonální členy, tzn. infinitezimální čtverec vzdálenosti může být zapsán jako součet čtverců infinitezimálních souřadnicových vzdáleností, tzn.

,

kde je dimenze prostoru a funkce (tzv. Laméovy koeficienty) jsou určeny diagonálními prvky metrického tenzoru .

Vektory a integrályEditovat

Ze vztahu pro vzdálenost lze určit infinitezimální změnu ve směru souřadnice   jako  . Odtud lze získat diferenciál polohového vektoru   jako

 ,

kde   jsou jednotkové vektory kolmé (tedy normálové vektory) k plochám konstantních souřadnic  . Tyto jednotkové vektory jsou tečné k souřadnicovým čarám a tvoří souřadnicové osy lokálního kartézkého systému souřadnic.

Vztahy pro skalární a vektorový součin mají v ortogonálním souřadném systému obvyklý tvar, tzn.

 

Tedy např. integrál po křivce   má v ortogonálních souřadnicích tvar

 ,

kde   je složka vektoru   ve směru  -tého jednotkového vektoru  

 

Podobně lze pro infinitezimální element obsahu psát  , kde  , a pro infinitezimální element objemu  , kde   a  . Např. integrál přes plochu   ve třírozměrných ortogonálních souřadnicích má tvar

 

Diferenciální operátory ve třech rozměrechEditovat

Gradient lze vyjádřit jako

 

Laplaceův operátor má tvar

 

Operátor divergence se zapíše jako

 

kde   je  -tá složka vektoru  .

Podobně lze operátor rotace vyjádřit ve tvaru

 

PříkladyEditovat

Externí odkazyEditovat