Speciálním případem Laplaceova operátoru je d'Alembertův diferenciální operátor (nazvaný podle Jeana le Rond d'Alemberta ) pro čtyřrozměrný Minkowského prostor ve speciální teorii relativity při popisu dějů v prostoročasu či v relativistické formulaci kvantové teorie (viz Kleinova–Gordonova rovnice ).
d'Alembertův operátor v kartézských souřadnicích je ve tvaru:
◻
f
=
∂
2
f
∂
(
x
1
)
2
+
∂
2
f
∂
(
x
2
)
2
+
∂
2
f
∂
(
x
3
)
2
−
∂
2
f
∂
(
x
0
)
2
{\displaystyle \square f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial (x_{1})^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial (x_{2})^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial (x_{3})^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}f}{\partial (x_{0})^{2}}}}
nebo speciálně za použití souřadnic
x
,
y
,
z
,
c
t
{\displaystyle x,y,z,ct}
◻
f
=
∂
2
f
∂
x
2
+
∂
2
f
∂
y
2
+
∂
2
f
∂
z
2
−
1
c
2
∂
2
f
∂
t
2
{\displaystyle \square f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {t}^{2}}}}
V látkovém prostředí se někdy používá definice
◻
f
=
Δ
f
−
μ
ε
∂
2
f
∂
t
2
=
Δ
f
−
N
2
c
2
∂
2
f
∂
t
2
{\displaystyle \square f=\Delta f-\mu \varepsilon {\frac {\partial ^{2}f}{\partial {t}^{2}}}=\Delta f-{\frac {N^{2}}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {t}^{2}}}}
kde
μ
,
ε
{\displaystyle \mu ,\varepsilon }
N
{\displaystyle N}
Značí se značkou
◻
=
∂
2
∂
x
2
+
∂
2
∂
y
2
+
∂
2
∂
z
2
−
1
c
2
∂
2
∂
t
2
{\displaystyle \square ={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}}
[pozn. 1]
editovat
Je-li
f
{\displaystyle f}
skalární pole v daných souřadnicích, pak platí:
Ve válcových souřadnicích :
Δ
f
=
1
r
∂
∂
r
(
r
∂
f
∂
r
)
+
1
r
2
∂
2
f
∂
θ
2
+
∂
2
f
∂
z
2
{\displaystyle \Delta f={1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}}
Ve sférických souřadnicích :
Δ
f
=
1
r
2
∂
∂
r
(
r
2
∂
f
∂
r
)
+
1
r
2
sin
θ
∂
∂
θ
(
sin
θ
∂
f
∂
θ
)
+
1
r
2
sin
2
θ
∂
2
f
∂
φ
2
{\displaystyle \Delta f={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}}
nebo ekvivalentně:
Δ
f
=
1
r
∂
2
∂
r
2
(
r
f
)
+
1
r
2
sin
θ
∂
∂
θ
(
sin
θ
∂
f
∂
θ
)
+
1
r
2
sin
2
θ
∂
2
f
∂
φ
2
{\displaystyle \Delta f={1 \over r}{\partial ^{2} \over \partial r^{2}}\left(rf\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}}
V obecných ortogonálních souřadnicích má gradient s využitím Laméových koeficientů
h
1
{\displaystyle h_{1}}
h
2
{\displaystyle h_{2}}
h
3
{\displaystyle h_{3}}
Δ
f
=
1
h
1
h
2
h
3
(
∂
∂
x
1
(
h
2
h
3
h
1
∂
f
∂
x
1
)
+
∂
∂
x
2
(
h
1
h
3
h
2
∂
f
∂
x
2
)
+
∂
∂
x
3
(
h
1
h
2
h
3
∂
f
∂
x
3
)
)
{\displaystyle \Delta f={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left({\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left({\frac {h_{1}h_{3}}{h_{2}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}\left({\frac {h_{1}h_{2}}{h_{3}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{3}}}\right)\right)}
Laplaceův operátor je invariantní vůči transformaci souřadnic.
↑ výjimečně se lze ve fyzikální literatuře setkat se zápisem d'Alembertova operátoru symbolem
◻
2
{\displaystyle \square ^{2}}
◻
{\displaystyle \square }
gradientu , tj. čtyřrozměrnému zobecnění operátoru nabla
HRIVŇÁK, DANIEL. DIFERENCIÁLNÍ OPERÁTORY VEKTOROVÉ ANALÝZY . [s.l.]: OSTRAVSKÁ UNIVERZITA, 2002. Dostupné online . 
