Definice Laplaceova operátoru zapsaná pomocí operátoru nabla , resp. pomocí operátorů divergence a gradientu , má tvar
Δ
=
∇
2
=
∇
⋅
∇
=
d
i
v
g
r
a
d
{\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}=\nabla \cdot \nabla =\mathrm {div} \,\mathrm {grad} }
Ačkoliv je tato definice nezávislá na soustavě souřadnic, v n -rozměrném euklidovském prostoru
Δ
=
∑
i
=
1
n
∂
2
∂
x
i
2
{\displaystyle \Delta =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}^{2}}}}
nebo speciálně
Δ
=
∂
2
∂
x
2
+
∂
2
∂
y
2
+
∂
2
∂
z
2
.
{\displaystyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}.}
v prostoru trojrozměrném euklidovském.
Důležitým speciálním případem Laplaceova operátoru je jeho vyjádření v Minkowského čtyřrozměrném prostoru , které se často používá v teorii relativity při popisu dějů v prostoročasu . Toto vyjádření se nazývá d'Alembertův operátor
◻
{\displaystyle \square }
[pozn. 1]
◻
=
∂
2
∂
x
2
+
∂
2
∂
y
2
+
∂
2
∂
z
2
−
1
c
2
∂
2
∂
t
2
.
{\displaystyle \square ={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}.}
Vyjádření v různých soustavách souřadnic Editovat Následující vztahy udávají hodnotu Laplaceova operátoru v nejrůznějších souřadných soustavách v trojrozměrném prostoru. Je-li funkce f skalární pole v daných souřadnicích, pak platí
Ve válcových souřadnicích :
Δ
f
=
1
r
∂
∂
r
(
r
∂
f
∂
r
)
+
1
r
2
∂
2
f
∂
θ
2
+
∂
2
f
∂
z
2
.
{\displaystyle \Delta f={1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}.}
Ve sférických souřadnicích :
Δ
f
=
1
r
2
∂
∂
r
(
r
2
∂
f
∂
r
)
+
1
r
2
sin
θ
∂
∂
θ
(
sin
θ
∂
f
∂
θ
)
+
1
r
2
sin
2
θ
∂
2
f
∂
φ
2
,
{\displaystyle \Delta f={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}},}
nebo ekvivalentní tvar ve sférických souřadnicích
Δ
f
=
1
r
∂
2
∂
r
2
(
r
f
)
+
1
r
2
sin
θ
∂
∂
θ
(
sin
θ
∂
f
∂
θ
)
+
1
r
2
sin
2
θ
∂
2
f
∂
φ
2
.
{\displaystyle \Delta f={1 \over r}{\partial ^{2} \over \partial r^{2}}\left(rf\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}.}
Používáme-li obecně ortogonální souřadnice x 1 ,x 2 ,x 3 , jejichž Laméovy koeficienty jsou po řadě h 1 ,h 2 ,h 3 , je vyjádření Laplaceova operátoru
Δ
f
=
1
h
1
h
2
h
3
(
∂
∂
x
1
(
h
2
h
3
h
1
∂
f
∂
x
1
)
+
∂
∂
x
2
(
h
1
h
3
h
2
∂
f
∂
x
2
)
+
∂
∂
x
3
(
h
1
h
2
h
3
∂
f
∂
x
3
)
)
{\displaystyle \Delta f={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left({\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left({\frac {h_{1}h_{3}}{h_{2}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}\left({\frac {h_{1}h_{2}}{h_{3}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{3}}}\right)\right)}
Ve zcela obecných souřadnicích (viz také Souřadnicový zápis vektorů ) se pak Laplaceův operátor zapíše jako divergence gradientu , tedy
Δ
f
=
(
f
;
i
g
i
k
)
;
k
=
f
;
k
;
k
=
1
g
∂
∂
x
i
(
g
g
i
k
∂
f
∂
x
k
)
,
{\displaystyle \Delta {f}=\left(f_{;i}g^{ik}\right)_{;k}={{f}^{;k}}_{;k}={\frac {1}{\sqrt {g}}}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left({\sqrt {g}}g^{ik}{\frac {\partial f}{\partial x^{k}}}\right),}
kde g označuje absolutní hodnotu determinantu metrického tenzoru . Poslední vzorec platí v riemannovských prostorech libovolné dimenze.
