Laplaceův operátor

divergence gradientu

Laplaceův operátor je diferenciální operátor definovaný jako divergence gradientu skalárního, nebo obecně tenzorového pole nazvaný podle Pierre-Simona Laplace. Je-li aplikován na skalární pole, výsledkem je skalární pole, je-li aplikován na tenzorové pole, výsledkem je tenzorové pole stejného řádu. Značí se symbolem .

Definice

editovat

Laplaceův operátor je definován jako působení skalárního součinu operátorů nabla na funkci  :

 .

V  -rozměrném prostoru lze Laplaceův operátor vyjádřit působením operátoru delta na funkci  :

 .

Obecně pro   se diferenciální operátor   nazývá p-Laplacián. Pro   se p-Laplacián redukuje na klasický Laplaceův operátor.

d'Alembertův operátor

editovat

Speciálním případem Laplaceova operátoru je d'Alembertův diferenciální operátor (nazvaný podle Jeana le Rond d'Alemberta) pro čtyřrozměrný Minkowského prostor ve speciální teorii relativity při popisu dějů v prostoročasu či v relativistické formulaci kvantové teorie (viz Kleinova–Gordonova rovnice).

d'Alembertův operátor v kartézských souřadnicích je ve tvaru:

 

nebo speciálně za použití souřadnic   ve tvaru:

 .

V látkovém prostředí se někdy používá definice

 ,

kde   jsou permeabilita a permitivita daného materiálu a   je jeho index lomu.

Značí se značkou   [pozn. 1].

Vyjádření v různých soustavách souřadnic

editovat

Je-li   skalární pole v daných souřadnicích, pak platí:

Ve válcových souřadnicích:

 .

Ve sférických souřadnicích:

 

nebo ekvivalentně:

 .

V obecných ortogonálních souřadnicích má gradient s využitím Laméových koeficientů  , ,  tvar:

 .

Laplaceův operátor je invariantní vůči transformaci souřadnic.

Užití

editovat

Poznámky

editovat
  1. výjimečně se lze ve fyzikální literatuře setkat se zápisem d'Alembertova operátoru symbolem  ; symbol   je v takových případech zpravidla vyhrazen čtyřvektoru operátoru gradientu, tj. čtyřrozměrnému zobecnění operátoru nabla

Literatura

editovat

Související články

editovat