Vlnová rovnice

Vlnová rovnice je významnou parciální diferenciální rovnicí druhého řádu hyperbolického typu, která charakterizuje dynamiku vlnění, ať už v akustice, optice, elektromagnetismu či mechanice.

Puls na struně s upevněnými konci modelovaný jednorozměrnou vlnovou rovnicí.

Vlnová rovnice obecně

Vlnovou homogenní rovnici lze vyjádřit ve tvaru:

${\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x_{2}^{2}}}+...+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x_{n}^{2}}}$

nebo ekvivalentně ve tvaru pomocí Laplaceova operátoru:

${\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}=\Delta z$

kde $z$ představuje skalární funkci polohy a času.

V obecnějším tvaru má vlnová rovnice nehomogenní vyjádření:

${\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}=\Delta z+f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$.

Vlnová rovnice v elektromagnetismu

Vlnové rovnice popisující šíření proudových resp. napěťových vln v čase $t$ po homogenním elektrickém vedení s rozloženými parametry o délce $l$:

Element dx elektrického vedení modelovaný Г-článkem.

${\frac {\partial ^{2}}{{\partial x}^{2}}}i\left(t,x\right)-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{{\partial t}^{2}\ }}i\left(t,x\right)-B{\frac {\partial }{\partial t}}i\left(t,x\right)-A\ i\left(t,x\right)=0$

${\frac {\partial ^{2}}{{\partial x}^{2}}}u\left(t,x\right)-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{{\partial t}^{2}\ }}u\left(t,x\right)-B{\frac {\partial }{\partial t}}u\left(t,x\right)-A\ u\left(t,x\right)=0$

$c^{2}={\frac {1}{\text{LC}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$$B=\left(RC+LG\right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$$A=RG$

řešitelné při znalosti soustavy počátečních podmínek resp. okrajových podmínek I. druhu:

$\,\,\,\,\,\,\,i\left(0,x\right)\equiv \psi _{i}\left(x\right)\,\,\,\,$ resp. $i\left(t,0\right)\equiv \mu _{i}\left(t\right)$

${\frac {\partial }{\partial t}}i\left(0,x\right)\equiv {\dot {\psi _{i}}}\left(x\right)\,\,\,\,\,$ resp. $i\left(t,l\right)\equiv \nu _{i}\left(t\right)$

$\,\,\,\,\,\,\,u\left(0,x\right)\equiv \psi _{u}\left(x\right)\,\,\,$ resp. $u\left(t,0\right)\equiv \mu _{u}\left(t\right)$

${\frac {\partial }{\partial t}}u\left(0,x\right)\equiv {\dot {\psi _{u}}}\left(x\right)\,\,\,$ resp. $u\left(t,l\right)\equiv \nu _{u}\left(t\right)$

mají následující partikulární řešení pro fázory proudu a napětí splňující podmínky $\mu$ resp. $\nu$:

$\mathbf {I} \left(x\right)=\mathbf {I} \left(0\right)\cosh {\mathbf {p} x}-\mathbf {Y} _{0}\mathbf {U} \left(0\right)\sinh {\mathbf {p} x}=\psi _{i}\left(x\right)$

$\mathbf {U} \left(x\right)=\mathbf {U} \left(0\right)\cosh {\mathbf {p} x}-\mathbf {Z} _{0}\mathbf {I} \left(0\right)\sinh {\mathbf {p} x}=\psi _{u}\left(x\right)$

resp.

$\mathbf {I} \left(x\right)=\mathbf {I} \left(l\right)\cosh {\mathbf {p} (x-l)}-\mathbf {Y} _{0}\mathbf {U} \left(l\right)\sinh {\mathbf {p} (x-l)}=\psi _{i}\left(x\right)$

$\mathbf {U} \left(x\right)=\mathbf {U} \left(l\right)\cosh {\mathbf {p} (x-l)}-\mathbf {Z} _{0}\mathbf {I} \left(l\right)\sinh {\mathbf {p} (x-l)}=\psi _{u}\left(x\right)$

kde:

$\mathbf {p} ^{2}=\left(R+j\omega L\right)\left(G+j\omega C\right)=\mathbf {Z} \ \mathbf {Y} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$$\mathbf {Z} _{0}\equiv {\sqrt {\frac {\mathbf {Z} }{\mathbf {Y} }}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$$\mathbf {Y} _{0}\equiv {\sqrt {\frac {\mathbf {Y} }{\mathbf {Z} }}}$

a $R,L,G,C$ jsou parametry vedení (rezistance, indukčnost, konduktance, kapacita) a $\omega$ je úhlová frekvence sítě.

Související články

• Vlnění
• Schrödingerova rovnice

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu vlnová rovnice na Wikimedia Commons
• Miloš Křivan: Matematický model elektrické sı́tě

Autoritní data	NKC: ph327629 NDL: 00562751