Otevřít hlavní menu

Termín „homogenní“ se v matematice používá v několika významech:

  1. Homogenní funkce
  2. Homogenní typ diferenciálních rovnic prvního řádu
  3. Homogenní diferenciální rovnice (v protikladu k „nehomogenním“ diferenciálním rovnicím); jedná se o vlastnost určitých lineárních diferenciálních rovnic, která nesouvisí s výše uvedenými dvěma případy

Homogenní funkceEditovat

Související informace naleznete také v článku Homogenní funkce.

Definice. Funkci     nazýváme homogenní funkcí stupně n, jestliže znásobením proměnné konstantním parametrem    dostaneme:

 

Tuto definici můžeme zobecnit na funkce více proměnných; například funkce dvou proměnných   se nazývá homogenní stupně n, jestliže nahrazením obou proměnných     a     jejich násobkem     a   ,  dostaneme

 

Příklad. Funkce     je homogenní funkcí stupně 2 protože:

 

Tato definice homogenní funkce se používá pro klasifikaci určitého typu diferenciálních rovnic prvního řádu.

Homogenní typ diferenciálních rovnic prvního řáduEditovat

Obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu ve tvaru:

 

je homogenního typu, jestliže obě funkce M(x, y) a N(x, y) jsou homogenní funkce stejného stupně n[1]. To znamená, že vynásobením každé proměnná parametrem    dostáváme:

      a      

odtud

 

Metoda řešeníEditovat

V podílu     můžeme položit    .   Tím podíl zjednodušíme na nějakou funkci   jedné proměnné  :

 

Provedeme substituci   a výsledek zderivujeme pomocí součinového pravidla:

 

čímž převedeme původní diferenciální rovnici na tvar umožňující separaci proměnných:

 

tento tvar můžeme přímo integrovat (viz obyčejná diferenciální rovnice).

Speciální případEditovat

Diferenciální rovnici prvního řádu tvaru:

 

(kde a, b, c, e, f, g jsou konstanty) můžeme převést na homogenní tvar lineární transformací obou proměnných (  a   jsou konstanty):

 

Homogenní lineární diferenciální rovniceEditovat

Definice. Lineární diferenciální rovnice se nazývá homogenní, pokud splňuje následující podmínku: Je-li     řešením rovnice, pak je řešením i   , kde   je libovolná (nenulová) konstanta. Aby tato podmínka byla splněna, každý term v lineární diferenciální rovnici se závislou proměnnou y musí obsahovat y nebo nějakou derivaci y; konstantní term homogenitu narušuje. Lineární diferenciální rovnice, která tuto podmínku nesplňuje, se nazývá nehomogenní.

Lineární diferenciální rovnice můžeme reprezentovat aplikací lineárního operátoru na y(x) kde x je nezávislá proměnná a y je závislá proměnná. Homogenní lineární diferenciální rovnice pak má následující tvar:

 

kde L je diferenciální operátor tj. součet derivací, z nichž každá je znásobena nějakou funkcí     proměnné x:

 

přitom     mohou být konstanty, ale všechny     se nesmí definitoricky rovnat nule.

Například následující diferenciální rovnice je homogenní

 

zatímco následující dvě jsou nehomogenní:

 
 

Související článkyEditovat

PoznámkyEditovat

  1. Ince 1956, p. 18

ReferenceEditovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Homogeneous differential equation na anglické Wikipedii.

  • BOYCE, William E.; DIPRIMA, Richard C. Elementary differential equations and boundary value problems. 10. vyd. [s.l.]: Wiley, 2012. ISBN 978-0470458310. . (Dobrý úvod do diferenciálních rovnic.)
  • INCE, E. L. New York: Dover Publications, 1956. Dostupné online. ISBN 0486603490. . (Klasické referenční příručka o obyčejných diferenciálních rovnicích, poprvé publikovaná v roce 1926.)

Externí odkazyEditovat