Gradient (matematika)

Gradient je v obecném smyslu slova směr a intenzita růstu. Ve formálním jazyce matematiky označuje diferenciální operátor, jehož výsledkem je vektorové pole vyjadřující směr a velikost největší změny skalárního pole. Při formálním zápisu se používá operátor nabla .

Ukázka gradientu (modré vektory) pro dvě různá skalární pole (černá představuje vyšší hodnotu skalární funkce).
Gradient na 3D povrchu - červená šipka značí největší růst, modrá pomalejší, na vrcholu je růst i gradient nulový.

Často se používá záporně vzatý gradient, který míří směrem největšího poklesu skalárního pole. V matematice se používá k numerickému nalezení extrémů funkce více proměnných (metoda největšího spádu). V aplikacích se záporně vzatý gradient využívá v konstitutivních zákonech, kde vyjadřuje podnět dávající do pohybu tok fyzikálního pole (například tok tepla z místa o větší teplotě do místa o menší teplotě).

Definice gradientuEditovat

V souřadnicovém vyjádření je v daném místě gradientem vektor, jehož složky tvoří jednotlivé parciální derivace funkce vyjadřující dané skalární pole. Pro trojrozměrné pole je gradient:

 

Přestože je gradient definován v kartézských souřadnicích, jde o invariantní veličinu, která nezávisí na volbě souřadnicové soustavy.

Zobecnění pro n-rozměrný prostor lze s pomocí Einsteinova sumačního pravidla vyjádřit ve tvaru

 ,

kde   jsou souřadnice a   jsou bázové vektory.

Operátor gradientu lze aplikovat nejen na skalární funkce, ale také na vektory a tenzory. Aplikace operátoru gradientu na tenzor zvyšuje jeho řád o jedna.

Vlastnosti gradientuEditovat

Jsou-li F,G vektorová pole, f,g funkce, a,b reálná čísla, má gradient následující vlastnosti.

  • Gradient je lineární vůči reálným číslům:  .
  • Gradient splňuje Leibnizovo pravidlo pro funkce:  .
  • Gradient skalárního součinu vektorů splňuje   kde   chápeme jako matici a výsledek jako sloupcový vektor.
  • Gradient skalární funkce je v každém bodě kolmý na vrstevnici (nebo obecněji ekvipotenciální plochu) procházející tímto bodem.

Vyjádření v různých soustavách souřadnicEditovat

Následující vztahy udávají vyjádření gradientu v nejrůznějších souřadných soustavách v trojrozměrném prostoru. Je-li funkce f skalární pole v daných souřadnicích a stříškované tučné znaky souřadnic jsou jednotkové vektory báze v daných souřadnicích, pak platí

Ve válcových souřadnicích:

 

Ve sférických souřadnicích:

 

Používáme-li obecně ortogonální souřadnice x1,x2,x3, jejíž Laméovy koeficienty jsou po řadě h1,h2,h3

 

Ve zcela obecných souřadnicích (viz také Souřadnicový zápis vektorů) pro složky vektoru gradientu platí

 

Zde je potřeba podotknout, že zatímco v předchozím textu jsme za bázi brali ortonormální bázi v daných souřadnicích, ve vzorci v obecných souřadnicích používáme bázi vektorů nebo diferenciálních forem a explicitně vypisujeme jakou.

Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat