Laméovy koeficienty (křivočaré souřadnice)

Tento článek je o koeficientech křivočarých souřadnic. O koeficientech popisujících elastické deformace pojednává článek Laméovy koeficienty (mechanika).

Laméovy koeficienty (též Lamého koeficienty[1]) jsou v matematice výrazy, které udávají vztah mezi i-tým bázovým vektorem a derivací podle i-té souřadnice . Vyskytují se ve vzorcích pro výpočet gradientu, divergence a rotace v jiných než kartézských souřadnicích. V případě ortogonálních souřadnic jsou vektory derivace podle souřadnice a gradient souřadnice rovnoběžné a podíl jejich délek je kvadrát odpovídajícího Lamého koeficientu.[2]

DefiniceEditovat

Mějme n-rozměrný afinní prostor   (tedy například trojrozměrný euklidovský prostor) a na něm zavedené souřadnice  . Dokážeme tedy vyjádřit zobrazení  , které n-tici souřadnic přiřadí jim odpovídající bod z  . Je-li toto zobrazení diferencovatelné, Lamého koeficienty    definujeme jako:

 

Každý Lamého koeficient je tedy vlastně skalární pole. Protože závislost na konkrétních souřadnicích je zřejmá z definice, je zvykem místo   psát pouze  .

Protože se bázové vektory   definují jako jednotkové vektory ve směru  , platí:

  [2]

Jsou-li souřadnice   navíc ortogonální, tedy platí-li   pro každé   (zde nám již nestačí afinní prostor, potřebujeme unitární prostor se skalárním součinem), potom navíc platí:

  [2]

kde   je polohový vektor v kartézských souřadnicích a předpokládáme, že   a  .

ReferenceEditovat

  1. KRTOUŠ, Pavel. Klasická elektrodynamika. [s.l.]: [s.n.], 2019. Kapitola Matematický formalismus. 
  2. a b c LEDVINKA, Tomáš. Poznámky k přednášce Klasická elektrodynamika. [s.l.]: [s.n.], 2020. Dostupné online.