Skalární součin[1] je v matematice bilineární zobrazení , kde je vektorový prostor nad tělesem , přiřazující dvojici vektorů skalár.

Značení editovat

Nejběžnější způsoby zápisu skalárního součinu vektorů   a   jsou:

  •   – značení používané hlavně v prostorech konečné dimenze
  •   – značení běžné ve funkcionální analýze
  •   – starší značení, dnes již méně používané
  •    jako bilineární forma
  •   – při použití Diracovy notace v kvantové mechanice

Definice editovat

Operaci skalárního součinu dvou vektorů vektorového prostoru nad číselným tělesem (   ) definujeme jako symetrickou pozitivně definitní bilineární formu na vektorovém prostoru, tj. v  -rozměrném aritmetickém vektorovém prostoru s kanonickou bází jako:

 ,

a definujeme-li normu libovolného vektoru vektorového prostoru jako druhou odmocninu skalárního součinu vektoru se sebou samým, pak z Cauchyho Schwarzovy a trojúhelníkové nerovnosti pro libovolné dva vektory   a   plyne nerovnost  , tj.:

 ,


kde   je úhel svíraný vektory   a  . Pro nulový skalární součin nenulových vektorů nutně platí, že svírají pravý úhel, pak říkáme, že tyto vektory jsou vzájemně ortogonální, tj. kolmé.

Vlastnosti editovat

 
Skalární součin

pro všechny nenulové vektory   a všechna   platí:

  •  
  •  
  •  
  •  
  • ve reálném vektorovém prostoru nad tělesem reálných čísel je skalární součin komutativní, tzn.:
 
  • v komplexním vektorovém prostoru nad tělesem komplexních čísel, kde pruhem je značeno komplexní sdružení, platí:
 
 

Příklad editovat

Mějme dva trojrozměrné vektory   a  . Potom jejich skalární součin je:

 .

Aplikace editovat

  • pro dva vektory   a  , zapsané v nějaké jedné pevně zvolené bázi  , lze skalární součin definovat jako:
 , kde   je metrický tenzor (v tomto případě matice).
  • pro dvě posloupnosti   lze skalární součin definovat jako řadu:
 , pokud řada konverguje.
 , pokud integrál konverguje.

Reference editovat

  1. BICAN, Ladislav. Linearni algebra a geometrie (upr. vydání). [s.l.]: Academia, 2009. ISBN 978-80-200-1707-9. (anglicky) 

Související články editovat

Externí odkazy editovat