Otevřít hlavní menu

Skalární součin je v matematice zobrazení, které dvojici vektorů přiřadí číslo (skalár), které má vztah k velikosti těchto vektorů, k tzv. ortogonalitě a případně k úhlu, který svírají. Formálně se skalární součin definuje na reálném nebo komplexním vektorovém prostoru V jako binární zobrazení

    resp.   ,    kde je vektorový prostor nad číselným tělesem resp. ,

splňující jisté vlastnosti.

Nejběžnější příklad skalárního součinu je v trojrozměrném eukleidovském prostoru zobrazení dané vzorcem

,

kde je úhel sevřený vektory a a b.

Způsob zápisuEditovat

Nejběžnější způsoby zápisu skalárního součinu vektorů u, v jsou:

  •   – značení používané hlavně v prostorech konečné dimenze. Jedná se o podobné značení jako u násobení matic, což je v určitých ohledech podobná operace.
  •   – značení běžné ve funkcionální analýze.
  •   – starší značení, dnes již méně používané.
  •  b jako bilineární forma
  •   – při použití Diracovy notace v kvantové mechanice

DefiniceEditovat

Jsou dány číselné těleso T a vektorový prostor V nad tímto tělesem. Zobrazení V×VT  je skalárním součinem, jestliže splňuje pro všechna   a všechna   následující podmínky:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  

Pruhem je označeno komplexní sdružení. Pro reálná čísla platí   

VlastnostiEditovat

  • v reálném vektorovém prostoru je skalární součin komutativní, tzn.
 
  • ve vektorovém prostoru nad tělesem komplexních čísel platí
 
  • pro komplexní a platí
 
 
  • jestliže množina   vyhovuje vztahu
 ,  kde   je Kroneckerovo delta,
pak tyto vektory označujeme jako ortonormální.
 
Geometrická interpretace skalárního součinu.
norma generovaná skalárním součinem:
 
  • z geometrického hlediska představuje skalární součin vektorů uv součin velikosti vektoru u a velikosti průmětu v do směru vektoru u, tzn.
 ,
kde   je úhel, který svírají vektory u, v.

Příklady skalárních součinůEditovat

  • pro dva vektory  
(zapsané v nějaké jedné pevně zvolené bázi) lze skalární součin definovat jako
 ,
kde   je metrický tenzor (v tomto případě matice).
  • skalární součin funkcí     (meze integrace jsou obvykle  )

Příklad výpočtu skalárního součinuEditovat

Mějme dva trojrozměrné vektory a = (1,2,3), b = (4,5,6). Potom jejich skalární součin je

 .

Související článkyEditovat