Skalární součin

Skalární součin je v matematice zobrazení, které dvojici vektorů přiřadí číslo (skalár), které má vztah k velikosti těchto vektorů, k tzv. ortogonalitě a případně k úhlu, který svírají. Formálně se skalární součin definuje na reálném nebo komplexním vektorovém prostoru V jako bilineární zobrazení

$V\times V\to \mathbb {R}$    resp.   $V\times V\to \mathbb {C}$,    kde $V$ je vektorový prostor nad číselným tělesem $\mathbb {R}$ resp. $\mathbb {C}$,

splňující jisté vlastnosti.

Nejběžnější příklad skalárního součinu je v trojrozměrném eukleidovském prostoru zobrazení dané vzorcem

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}=|\mathbf {a} |\,|\mathbf {b} |\cos \varphi$,

kde $\varphi$ je úhel sevřený vektory a a b.

Způsob zápisu

Nejběžnější způsoby zápisu skalárního součinu vektorů u, v jsou:

• $\mathbf {u} \cdot \mathbf {v}$ – značení používané hlavně v prostorech konečné dimenze. Jedná se o podobné značení jako u násobení matic, což je v určitých ohledech podobná operace.
• $\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle$ – značení běžné ve funkcionální analýze.
• $(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )$ – starší značení, dnes již méně používané.
• $b\,(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )$ – b jako bilineární forma
• $\langle \mathbf {v} \mid \mathbf {u} \rangle$ – při použití Diracovy notace v kvantové mechanice

Definice

Jsou dány číselné těleso T a vektorový prostor V nad tímto tělesem. Zobrazení V×V → T  je skalárním součinem, jestliže splňuje pro všechna $\mathbf {u} ,\mathbf {v} ,\mathbf {w} \in V$ a všechna $a\in T$ následující podmínky:

1. $(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )={\overline {(\mathbf {v} ,\mathbf {u} )}}$
2. $(\mathbf {u} +\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=(\mathbf {u} ,\mathbf {w} )+(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )$
3. $(a\,\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=a\,(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )$
4. $(\mathbf {v} ,\mathbf {v} )\geq 0$
5. $(\mathbf {v} ,\mathbf {v} )=0\iff \mathbf {v} =\mathbf {0}$

Pruhem je označeno komplexní sdružení. Pro reálná čísla platí  ${\overline {x}}=x.$

Vlastnosti

• v reálném vektorovém prostoru je skalární součin komutativní, tzn.

$(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=(\mathbf {v} ,\mathbf {u} )$

• ve vektorovém prostoru nad tělesem komplexních čísel platí

$(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )={\overline {(\mathbf {v} ,\mathbf {u} )}}$

• pro komplexní a platí

$(\mathbf {u} ,a\,\mathbf {v} )={\overline {a}}\,(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )$

• vektory u, v nazýváme ortogonálními vektory, pokud splňují vztah

$(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=0$

• jestliže množina $\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\dots ,\mathbf {e} _{n}\}$ vyhovuje vztahu

$(\mathbf {e} _{j},\mathbf {e} _{k})=\delta _{jk}$,  kde $\delta _{jk}$ je Kroneckerovo delta,

pak tyto vektory označujeme jako ortonormální.

Geometrická interpretace skalárního součinu.

• pomocí skalárního součinu lze definovat normu vektoru, tzv.

norma generovaná skalárním součinem:

$\|\mathbf {v} \|={\sqrt {(\mathbf {v} ,\mathbf {v} )}}$

• z geometrického hlediska představuje skalární součin vektorů u, v součin velikosti vektoru u a velikosti průmětu v do směru vektoru u, tzn.

$\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =\|\mathbf {u} \|\,\|\mathbf {v} \|\cos \varphi$,

kde $\varphi$ je úhel, který svírají vektory u, v.

Příklady skalárních součinů

• pro dva vektory $\mathbf {u} =\sum _{i=1}^{n}u^{i}\mathbf {e} _{i},\,\mathbf {v} =\sum _{i=1}^{n}v^{i}\mathbf {e} _{i}$

(zapsané v nějaké jedné pevně zvolené bázi $\mathbf {e}$) lze skalární součin definovat jako

$(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\sum _{i,j=1}^{n}(\mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j})u^{i}{\overline {v^{j}}}=\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}u^{i}{\overline {v^{j}}}$,

kde $g_{ij}=(\mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j})$ je metrický tenzor (v tomto případě matice).

• pro dvě posloupnosti $a,b:\mathbb {N} \to \mathbb {C}$ můžeme definovat skalární součin jako řadu

$(a,b)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}{\overline {b_{i}}}$

pokud řada konverguje.

• skalární součin funkcí $(f,g)=\int _{a}^{b}f(x)\cdot {\overline {g(x)}}dx$ pokud integrál konverguje. (meze integrace jsou obvykle $0,\pm \infty ,\pm 1,\pm \pi$)

Příklad výpočtu skalárního součinu

Mějme dva trojrozměrné vektory a = (1,2,3), b = (4,5,6). Potom jejich skalární součin je

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}=1\cdot 4+2\cdot 5+3\cdot 6=32$.

Související články

• Vektor
• Vektorový součin
• Smíšený součin

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu skalární součin na Wikimedia Commons

Autoritní data	GND: 4181619-5