Poissonova rovnice

Poissonovou rovnicí nazýváme obecně nehomogenní parciální diferenciální rovnici

$\Delta u=f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$,

kde $\Delta$ označuje tzv. Laplaceův operátor

$\Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{2}^{2}}}+...+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}$

pro $n\geq 2$.

Např. Poissonova rovnice pro proměnné $x,y,z$ má tvar

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}=f(x,y,z)$

Poissonova rovnice je tedy parciální diferenciální rovnice eliptického typu.

P. r. platí např. pro klasický potenciál gravitačního n. elektrostatického pole, na pravé straně je hustota (látky příp. el. náboje).

Laplaceova rovnice

Speciálním případem Poissonovy rovnice je homogenní Laplaceova rovnice

$\Delta u=0$,

kde $\Delta$ je Laplaceův operátor.

Každá funkce $u$, která je řešením Laplaceovy rovnice, se nazývá harmonická funkce.

Související články

• Eliptická diferenciální rovnice
• Laplaceův operátor

Autoritní data	PSH: 7608 GND: 4174972-8