Poissonova rovnice

Poissonovou rovnicí nazýváme obecně nehomogenní parciální diferenciální rovnici:

$\Delta u=f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$,

kde $\Delta$ označuje tzv. Laplaceův operátor:

$\Delta =\nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{2}^{2}}}+...+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}$

pro $n\geq 2$.

Např. Poissonova rovnice pro proměnné $x,y,z$ má tvar

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}=f(x,y,z)$.

Poissonova rovnice je parciální diferenciální rovnice eliptického typu. Jedná se o stacionární difuzní rovnici. Poissonova rovnice platí např. pro klasický potenciál gravitačního resp. elektrostatického pole, na pravé straně je hustota (hmoty resp. elektrostatického náboje).

Speciálním případem Poissonovy rovnice je homogenní Laplaceova rovnice:

$\Delta u=0$,

kde $\Delta$ je Laplaceův operátor.

Související články

• Harmonická funkce
• Laplaceův operátor
• Difuzní rovnice

Autoritní data	PSH: 7608 GND: 4174972-8