Křivkový integrál

matematice je křivkový integrál integrál skalárního nebo vektorového pole počítaný podél křivky zobecněním jednorozměrného integrálu. Křivkové integrály v rovině lze počítat pomocí křivkových integrálů funkcí komplexní proměnné.

Animace demonstrující význam křivkového integrálu skalárního pole

Definice

editovat

Mějme orientovanou křivku  , která je definována rovnicemi   pro  . Na této křivce   nechť je definována funkce  .

Křivku   rozdělíme na   oblouků   v bodech   s parametry  . Na každém oblouku   zvolíme bod   o souřadnicích   a sestrojíme součty

 
 
 

kde   je délka oblouku  . Největší z délek   při daném dělení   nazveme normou dělení  , tzn.  .

Pokud existuje takové číslo  , resp.  , resp.  , že k libovolnému   lze najít takové  , že  , resp.  , resp.   pro každé dělení  , pro které   bez ohledu na volbu bodů   na  , pak říkáme, že existuje křivkový integrál funkce   po křivce   vzhledem k  , resp. k  , resp. k  , což zapisujeme vztahy

 
 
 
 
Demonstrace významu křivkových integrálů

Integrál   označujeme jako křivkový integrál prvního druhu, integrály   jako křivkové integrály druhého druhu. Je-li funkce   spojitá na křivce  , pak uvedené integrály existují. Za integrál druhého druhu se považuje také integrál:

 .

Je-li křivka   uzavřená, pak k označení křivkového integrálu po této křivce užíváme integrační znak  .

Význam křivkových integrálů je demonstrován na obrázku. Obsah plochy, která je nad křivkou   ohraničena funkcí  , je určen křivkovým integrálem prvního druhu, tedy integrálem  . Obsah (orientovaného) průmětu této plochy do roviny  , resp.  , je určen integrálem  , resp.  .

Vlastnosti křivkových integrálů

editovat

Je-li   orientovaná křivka, kterou lze rozložit na dvě souhlasně orientované křivky  , pak pro křivkové integrály druhého druhu platí

 
 

a podobně pro křivkové integrály prvního druhu

 

Jsou-li na křivce   definovány funkce  , pak pro libovolné konstanty  

 
 
 

Označme jako   křivku, která má opačnou orientaci než křivka  . Při změně orientace křivky změní integrály druhého druhu své znaménko, tzn.

 
 

Integrály prvního druhu při změně orientace znaménko nemění, tzn.

 

Zobecnění křivkových integrálů

editovat

Zobecnění křivkových integrálů na prostorové křivky je přímočaré. Je-li na oblasti   definována spojitá funkce   a křivka   zadaná parametricky vztahy   pro  , pak křivkový integrál prvého druhu zapíšeme

 

Křivkové integrály druhého druhu pak mají tvar

 
 
 

Užití křivkových integrálů

editovat

Křivkové integrály mají široké využití v diferenciální geometrii, např. výpočet délky křivky či obsahu plochy, a ve fyzice, např. výpočet hmotnosti, těžiště a statických momentů nebo setrvačnosti tělesa, či výpočet vykonané práce podél dráhy, rovné křivkovému integrálu vektoru síly podle dráhy.

Diferenciální geometrie

editovat

V diferenciální geometrii hrají důležitou roli integrály prvního druhu (integrály ze skalárního pole podél křivky, neorientované) a integrály druhého druhu (integrály z vektorového nebo obecně tenzorového pole podél křivky, orientované).

Integrál prvního druhu

editovat

Nechť   je skalární pole podél jednoduché po částech hladké křivky   parametrizované zobrazením  , pro které je   nenulové pro každé  . Potom křivkový integrál prvního druhu píšeme následovně, přičemž integrál elementu délky křivky   je roven délce křivky:

   ,

kde  , neboť  , , .

Výsledná hodnota integrálu nezávisí na parametrizaci, ale pouze na křivce, podél které se integruje. Integrál skalárního pole po křivce vzniklé napojením dvou křivek v jednom bodě je součtem jednotlivých integrálů podél napojených křivek. Hodnota integrálu nezávisí na směru integrace (orientaci křivky).

Integrál druhého druhu

editovat
 
Oranžová křivka C zobrazuje trajektorii částice uvnitř vektorového pole. Částice se pohybuje z bodu a do bodu b podél křivky a probíhá vektorovým polem F. Níže napravo sledujeme vektor z pohledu částice. Při změně směru se šipky os otáčejí. Modrá šipka znázorňuje aktuální orientaci částice vzhledem k poli F. Dole se zelenou barvou tvoří křivka podle směru cesty částice (křivka C). Vytvořená křivka zelenou barvou je ekvivalentní křivkovému integrálu.

Nechť   je vektorové pole podél jednoduché po částech hladké křivky   parametrizované zobrazením  , pro které je   nenulové pro každé  . Potom křivkový integrál druhého druhu píšeme následovně:

 ,

kde  .

Výsledná hodnota integrálu nezávisí na parametrizaci, ale pouze na orientaci křivky, podél které se integruje. Integrál vektorového pole po křivce vzniklé napojením dvou stejně orientovaných křivek v jednom bodě je součtem jednotlivých integrálů podél napojených křivek. Hodnota integrálu při změně směru integrace (orientace křivky) změní znaménko.

Transformace integrálu II. druhu

editovat

Integrál 2. druhu lze vždy převést na integrál 1. druhu pomocí skalárního součinu vektorového pole a tečného vektoru křivky:

 .

Počítáme-li křivkový integrál 2. druhu z konzervativního pole (nevírového), které je gradientem funkce   (potenciálu), na křivce s počátečním bodem A a koncovým bodem B, lze psát:

 ,

kde   je totální diferenciál funkce  , integrál pak nezávisí na cestě (křivce), ale jen na hodnotách potenciálu počátečního a koncového bodu.

Počítáme-li křivkový integrál 2. druhu z nekonzervativního pole (vírového) po uzavřené křivce (tzv. cirkulaci), můžeme použít klasickou Stokesovu větu:

 .

Komplexní analýza

editovat

komplexní analýze se operuje s křivkovými integrály z funkce komplexní proměnné přes křivky v komplexní rovině. Křivkový integrál z holomorfní funkce   po křivce  , kde   je její parametr probíhající interval  :

 ,

kde se integruje zvlášť reálná a imaginární část. Jde-li o uzavřenou křivku, potom se používá značení:

 .

Komplexní křivkové integrály lze zpravidla snadno počítat pomocí primitivní funkce, jako (reálné) křivkové integrály II. druhu, pomocí Greenovy věty, Cauchyovy věty, reziduové věty, nebo pomocí Cauchyova vzorce. Pokud integrační křivka splývá na některém svém úseku s reálnou osou, lze v určitých případech pomocí komplexních integrálů počítat integrály reálné.

Příklad

editovat

Mějme funkci   a křivku   definovanou jako jednotkovou kladně orientovanou kružnici se středem v počátku, která je parametrizována jako  , kde parametr   probíhá interval  :

 ,

což lze rovněž ověřit Cauchyovým vzorcem.

Související články

editovat

Externí odkazy

editovat