Křivkový integrál

matematice je křivkový integrál integrál skalárního nebo vektorového pole počítaný podél křivky. Je více druhů křivkových integrálů, mezi nejdůležitější patří integrály prvního a druhého druhu a integrály v komplexní proměnné.

Animace demonstrující význam křivkového integrálu skalárního pole

DefiniceEditovat

Mějme orientovanou křivku  , která je definována rovnicemi   pro  . Na této křivce k nechť je definována funkce  .

Křivku k rozdělíme na   oblouků   v bodech   s parametry  . Na každém oblouku   zvolíme bod   o souřadnicích   a sestrojíme součty

 
 
 

kde   je délka oblouku  .


Největší z délek   při daném dělení   nazveme normou dělení  , tzn.  .


Pokud existuje takové číslo  , resp.  , resp.  , že k libovolnému   lze najít takové  , že  , resp.  , resp.   pro každé dělení  , pro které   bez ohledu na volbu bodů   na  , pak říkáme, že existuje křivkový integrál funkce   po křivce k vzhledem k x, resp. k y, resp. k s, což zapisujeme vztahy

 
 
 

Integrál   označujeme jako křivkový integrál prvního druhu, integrály   jako křivkové integrály druhého druhu.

Je-li funkce   spojitá na křivce k, pak uvedené integrály existují.

Za integrál druhého druhu se považuje také integrál

 

Je-li křivka k uzavřená, pak k označení křivkového integrálu po této křivce užíváme integrační znak  .

 
Demonstrace významu křivkových integrálů

Význam křivkových integrálů je demonstrován na obrázku. Obsah plochy, která je nad křivkou k ohraničena funkcí  , je určen křivkovým integrálem prvního druhu, tedy integrálem  . Obsah (orientovaného) průmětu této plochy do roviny  , resp.  , je určen integrálem  , resp.  .

Zobecnění křivkových integrálů na prostorové křivky je přímočaré. Je-li na oblasti   definována spojitá funkce   a křivka k zadaná parametricky vztahy   pro  , pak křivkový integrál prvého druhu zapíšeme

 

Křivkové integrály druhého druhu pak mají tvar

 
 
 

Vlastnosti křivkových integrálůEditovat

Je-li k orientovaná křivka, kterou lze rozložit na dvě souhlasně orientované křivky  , pak pro křivkové integrály druhého druhu platí

 
 

a podobně pro křivkové integrály prvního druhu

 

Jsou-li na křivce k definovány funkce  , pak pro libovolné konstanty  

 
 
 


Označme jako   křivku, která má opačnou orientaci než křivka  . Při změně orientace křivky změní integrály druhého druhu své znaménko, tzn.

 
 

Integrály prvního druhu při změně orientace znaménko nemění, tzn.

 

Komplexní analýzaEditovat

komplexní analýze se operuje s křivkovými integrály z funkce komplexní proměnné přes křivky v komplexní rovině. Křivkový integrál z holomorfní funkce f(z) po C1 křivce γ(t) , kde t je její parametr probíhající interval <a,b>

 

kde se integruje zvlášť reálná a imaginární část. Jde-li o uzavřenou křivku, potom se používá značení

 

Komplexní křivkové integrály lze zpravidla snadno počítat pomocí primitivní funkce, jako (reálné) křivkové integrály II. druhu, pomocí Greenovy věty, Cauchyovy věty, reziduové věty, nebo pomocí Cauchyova vzorce. Pokud integrační křivka splývá na některém svém úseku s reálnou osou, lze v určitých případech pomocí komplexních integrálů počítat integrály reálné.

PříkladEditovat

Mějme funkci f(z)=1/z a křivku C definovanou jako jednotkovou kladně orientovanou kružnici se středem v počátku, která je parametrizována jako eit, kde parametr t probíhá <0, 2π>:

 ,

což lze rovněž ověřit Cauchyovým vzorcem.

Vektorový početEditovat

Ve vektorovém počtu hrají důležitou roli především integrály prvního druhu (tedy integrály ze skalárního pole podél křivky) a integrály druhého druhu (integrály z vektorového nebo obecně tenzorového pole podél křivky).

Integrál prvního druhuEditovat

Nechť f je skalární pole RnR spojité po částech C1 podél křivky γ parametrizované zobrazením r(t) <a,b>→Rn, pro které je r'(t) nenulové pro každé t. Potom křivkový integrál prvního druhu

 
 
Oranžová křivka C zobrazuje trajektorii částice uvnitř vektorového pole. Částice se pohybuje z bodu a do bodu b podél křivky a probíhá vektorovým polem F. Níže napravo sledujeme vektor z pohledu částice. Při změně směru se šipky os otáčejí. Modrá šipka znázorňuje aktuální orientaci částice vzhledem k poli F. Dole se zelenou barvou tvoří křivka podle směru cesty částice (křivka C). Vytvořená křivka zelenou barvou je ekvivalentní křivkovému integrálu.

Výsledná hodnota integrálu nezávisí na parametrizaci (integruje se podle elementu délky křivky), jen na křivce, podél které se integruje. Integrál skalárního pole po křivce vzniklé napojením dvou křivek v jednom bodě je součtem jednotlivých integrálů podél napojených křivek. Hodnota integrálu nezávisí na směru integrace (orientaci křivky). Integrál z funkce 1 je roven délce křivky:

 

Integrál druhého druhuEditovat

Nechť A je vektorové pole RnRn spojité po částech C1 podél křivky γ parametrizované zobrazením r(t) <a,b>→Rn, pro které je r'(t) nenulové pro každé t. Potom křivkový integrál druhého druhu je

 

Absolutní hodnota integrálu nezávisí na parametrizaci, jen na orientaci křivky, podél které se integruje. Integrál vektorového pole po křivce vzniklé napojením dvou stejně orientovaných křivek v jednom bodě je součtem jednotlivých integrálů podél napojených křivek. Hodnota integrálu při změně směru integrace (orientace křivky) změní znaménko.

Transformace integrálu II. druhuEditovat

Integrál 2. druhu lze vždy převést na integrál 1. druhu z tečné souřadnice daného vektorového pole:

 

Za jistých dodatečných předpokladů lze křivkový integrál II. druhu převést na rozdíl potenciálů anebo na plošný integrál II. druhu.

Počítáme-li křivkový integrál II. druhu z konzervativního pole (nevírové, je gradientem nějaké funkce F) na křivce s počátečním bodem  a koncovým bodem  , lze psát

 .

Integrál zde tedy nezávisí na cestě (křivce), ale jen na počátečním a koncovém bodu (a hodnotách potenciálu v nich).

Počítáme-li křivkový integrál II. druhu z nekonzervativního pole (vírového) po uzavřené křivce (tzv. cirkulaci), můžeme použít klasickou Stokesovu větu:

 .

UžitíEditovat

Křivkové integrály mají široké využití v geometrii (např. výpočet délky křivky) a ve fyzice, jako příklad lze uvést výpočet vykonané práce podél dráhy – ta je rovna křivkovému integrálu (druhého druhu) vektoru síly podle dráhy.

Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat