Otevřít hlavní menu
Animace demonstrující význam křivkového integrálu skalárního pole

matematice je křivkový integrál integrál skalárního nebo vektorového pole počítaný podél křivky. Je mnoho druhů křivkových integrálů, mezi nejdůležitější patří integrály prvního a druhého druhu a integrály v komplexní proměnné.

DefiniceEditovat

Mějme orientovanou křivku  , která je definována rovnicemi   pro  . Na této křivce k nechť je definována funkce  .

Křivku k rozdělíme na   oblouků   v bodech   s parametry  . Na každém oblouku   zvolíme bod   o souřadnicích   a sestrojíme součty

 
 
 

kde   je délka oblouku  .


Největší z délek   při daném dělení   nazveme normou dělení  , tzn.  .


Pokud existuje takové číslo  , resp.  , resp.  , že k libovolnému   lze najít takové  , že  , resp.  , resp.   pro každé dělení  , pro které   bez ohledu na volbu bodů   na  , pak říkáme, že existuje křivkový integrál funkce   po křivce k vzhledem k x, resp. k y, resp. k s, což zapisujeme vztahy

 
 
 

Integrál   označujeme jako křivkový integrál prvního druhu, integrály   jako křivkové integrály druhého druhu.

Je-li funkce   spojitá na křivce k, pak uvedené integrály existují.

Za integrál druhého druhu se považuje také integrál

 

Je-li křivka k uzavřená, pak k označení křivkového integrálu po této křivce užíváme integrační znak  .

 
Demonstrace významu křivkových integrálů

Význam křivkových integrálů je demonstrován na obrázku. Obsah plochy, která je nad křivkou k ohraničena funkcí  , je určen křivkovým integrálem prvního druhu, tedy integrálem  . Obsah (orientovaného) průmětu této plochy do roviny  , resp.  , je určen integrálem  , resp.  .

Zobecnění křivkových integrálů na prostorové křivky je přímočaré. Je-li na oblasti   definována spojitá funkce   a křivka k zadaná parametricky vztahy   pro  , pak křivkový integrál prvého druhu zapíšeme

 

Křivkové integrály druhého druhu pak mají tvar

 
 
 

Vlastnosti křivkových integrálůEditovat

Je-li k orientovaná křivka, kterou lze rozložit na dvě souhlasně orientované křivky  , pak pro křivkové integrály druhého druhu platí

 
 

a podobně pro křivkové integrály prvního druhu

 

Jsou-li na křivce k definovány funkce  , pak pro libovolné konstanty  

 
 
 


Označme jako   křivku, která má opačnou orientaci než křivka  . Při změně orientace křivky změní integrály druhého druhu své znaménko, tzn.

 
 

Integrály prvního druhu při změně orientace znaménko nemění, tzn.

 

Komplexní analýzaEditovat

komplexní analýze se operuje s křivkovými integrály. Křivkový integrál z holomorfní funkce f(z) po C1 křivce γ(t) , kde t je její parametr probíhající interval <a,b>

 

kde se integruje zvlášť reálná a imaginární část. Jde-li o uzavřenou křivku, potom se používá značení

 

Komplexní křivkové integrály lze zpravidla snadno počítat pomocí Cauchyovy věty, reziduové věty, nebo pomocí Cauchyova vzorce. Pokud integrační křivka splývá na některém svém úseku s reálnou osou, lze v určitých případech pomocí komplexních integrálů počítat integrály reálné.

PříkladEditovat

Mějme funkci f(z)=1/z a křivku C definovanou jako jednotkovou kladně orientovanou kružnici kolem bodu 0, která je parametrizována jako eit, kde parametr t probíhá <0, 2π>. Substitucí

 
 

což lze rovněž ověřit Cauchyovým vzorcem.

Vektorový početEditovat

Ve vektorovém počtu hrají důležitou roli především integrály prvního druhu (tedy integrály ze skalárního pole podél křivky) a integrály druhého druhu (integrály z vektorového pole podél křivky).

Integrál prvního druhuEditovat

Nechť f je skalární pole RnR spojité po částech C1 podél křivky γ parametrizované zobrazením r(t) <a,b>→Rn, pro které je r'(t) nenulové pro každé t. Potom křivkový integrál prvního druhu

 
 
Oranžová křivka C zobrazuje trajektorii částice uvnitř vektorového pole. Částice se pohybuje z bodu a do bodu b podél křivky a probíhá vektorovým polem F. Níže napravo sledujeme vektor z pohledu částice. Při změně směru se šipky os otáčejí. Modrá šipka znázorňuje aktuální orientaci částice vzhledem k poli F. Dole se zelenou barvou tvoří křivka podle směru cesty částice (křivka C). Vytvořená křivka zelenou barvou je ekvivaletní křivkovému integrálu.

Výsledná hodnota integrálu nezávisí na parametrizaci (integruje se podle elementu délky křivky), jen na křivce, podél které se integruje. Integrál skalárního pole po křivce vzniklé napojením dvou křivek v jednom bodě je součtem jednotlivých integrálů podél napojených křivek. Hodnota integrálu nezávisí na směru integrace.

Integrál druhého druhuEditovat

Nechť A je vektorové pole RnRn spojité po částech C1 podél křivky γ parametrizované zobrazením r(t) <a,b>→Rn, pro které je r'(t) nenulové pro každé t. Potom křivkový integrál druhého druhu

 

Výsledná hodnota integrálu nezávisí na parametrizaci (integrace je prováděna podle elementu délky křivky), jen na křivce, podél které se integruje. Integrál vektorového pole po křivce vzniklé napojením dvou stejně orientovaných křivek v jednom bodě je součtem jednotlivých integrálů podél napojených křivek. Hodnota integrálu při změně směru integrace mění znaménko.

UžitíEditovat

Křivkové integrály mají široké využití ve fyzice, jako příklad lze uvést výpočet vykonané práce podél křivky – ta je rovna křivkovému integrálu (druhého druhu) vektoru síly pole dráhy.

Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat

  •   Kniha Integrování/Výpočet reálných integrálů pomocí reziduové věty ve Wikiknihách
  • STRMISKA, Martin. Aplikace křivkového integrálu. Zlín: Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně, 2015, 75s. Dostupné také z: http://hdl.handle.net/10563/34231. Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně. Fakulta aplikované informatiky, Ústav automatizace a řídicí techniky.