Otevřít hlavní menu

Moment setrvačnosti je fyzikální veličina, která vyjadřuje míru setrvačnosti tělesa při otáčivém pohybu. Její velikost závisí na rozložení hmoty v tělese vzhledem k ose otáčení. Body (části) tělesa s větší hmotností a umístěné dál od osy mají větší moment setrvačnosti.

Obsah

ZnačeníEditovat

VýpočetEditovat

Diskrétní rozložení hmotyEditovat

Při otáčivém pohybu soustavy hmotných bodů kolem nehybné osy opisují jednotlivé hmotné body kružnice, jejichž středy leží na ose otáčení. Úhlová rychlost   všech bodů je stejná.

Celkovou kinetickou energii určíme jako součet kinetických energií všech   hmotných bodů soustavy, tzn.

 ,

kde   je hmotnost  -tého hmotného bodu,   je velikost jeho rychlosti,   je jeho (kolmá) vzdálenost od osy otáčení a bylo využito toho, že rychlost bodu při kruhovém pohybu je přímo úměrná vzdálenosti bodu od osy otáčení, tzn.  . Předchozí vztah lze upravit na tvar

 ,

kde veličina   představuje moment setrvačnosti tělesa k ose otáčení. Moment setrvačnosti soustavy hmotných bodů je tak definován vztahem

 

Spojité rozložení hmotyEditovat

V mechanice kontinua (tedy v případě spojitě rozložené hmoty) lze k určení momentu setrvačnosti použít vztah

 ,

kde integrace se provádí přes celé těleso o celkové hmotnosti  .


Je-li   hustota tělesa, pak  , kde   je objem tělesa a moment setrvačnosti lze vyjádřit ve tvaru

 

Integruje se přes objem celého tělesa  .

V případě, že je těleso homogenní, tzn.  , je možné předchozí vztah zjednodušit

 

Poloměr setrvačnostiEditovat

Moment setrvačnosti je také možné zapsat jako součin celkové hmotnosti tělesa   a čtverce jisté střední vzdálenosti  , ve které by musela být soustředěna veškerá hmotnost tělesa, aby moment setrvačnosti byl roven momentu celého tělesa.

 

Vzdálenost   se nazývá poloměr setrvačnosti nebo gyrační poloměr.

Momenty setrvačnosti některých tělesEditovat

Pro praktické použití je vhodná znalost některých často používaných momentů setrvačnosti.

  • Moment setrvačnosti tyče délky   a hmotnosti   vzhledem k ose procházející středem tyče kolmo k její délce
 
  • Moment setrvačnosti tyče délky   a hmotnosti   vzhledem k ose procházející koncem tyče kolmo k její délce
 
  • Moment setrvačnosti koule o poloměru   a hmotnosti   vzhledem k ose procházející středem koule.
 
  • Moment setrvačnosti plného válce o poloměru   a hmotnosti   vzhledem k ose souměrnosti.
 
  • Moment setrvačnosti tlustostěnného pláště válce o vnitřním poloměru   a vnějším poloměru   a hmotnosti   vzhledem k ose souměrnosti.
 
  • Moment setrvačnosti tenké obruče o poloměru   a hmotnosti   vzhledem k ose souměrnosti.
 
  • Moment setrvačnosti obdelníku o rozměrech   a   a hmotnosti   vzhledem k normále od středu obdelníku.
 

Steinerova větaEditovat

Související informace naleznete také v článku Steinerova věta.

Moment setrvačnosti vzhledem k ose procházející mimo těžiště tělesa lze určit podle Steinerovy věty jako součet momentu setrvačnosti vzhledem k rovnoběžné ose procházející těžištěm a součinu hmotnosti a čtverce vzdálenosti od těžiště, tzn.

 ,

kde   je moment setrvačnosti vzhledem k rovnoběžné ose jdoucí těžištěm tělesa,   je hmotnost tělesa a   je kolmá vzdálenost těžiště od osy otáčení.

Tenzor setrvačnostiEditovat

Otáčí-li se soustava hmotných bodů kolem libovolné osy   úhlovou rychlostí  , má kinetická energie tohoto rotačního pohybu hodnotu

 ,

kde   je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose  ,   je rychlost  -tého hmotného bodu soustavy, a   je polohový vektor  -tého hmotného bodu vzhledem k počátku zvolené soustavy souřadnic, kterým prochází osa  .

Vektor  , který směřuje podél osy   lze vyjádřit prostřednictvím jeho složek   vzhledem k souřadnicovým osám  . Předchozí vztah je pak možno rozepsat do tvaru

 

a rozepíšeme-li v tomto výrazu jednotlivé mocniny, dostaneme po úpravě

 

Pro kinetickou energii pak dostáváme výraz

 ,

kde

 
 
 

jsou momenty setrvačnosti vzhledem k souřadnicovým osám   a

 
 
 

jsou deviační momenty.


Předchozí vztahy platí pro těleso popsané soustavou hmotných bodů. Považujeme-li hmotu v tělese za spojitě rozloženou, přejdeme od sumace k integraci a pro momenty setrvačnosti k souřadnicovým osám dostaneme

 
 
 

Pro deviační momenty získáme podobně vztahy

 
 
 


Vektor  , který leží v ose   je možné využít k získání směrových kosinů rotační osy, tzn.  , kde   je velikost vektoru  . Po dosazení do výrazů pro kinetickou energii a po úpravě dostaneme výraz pro výpočet momentu setrvačnosti   vzhledem k ose, která svírá se souřadnicovými osami   úhly  

 

Změní-li se směr osy   vzhledem k tělesu, změní se také velikost momentu setrvačnosti  . Toto rozložení charakterizuje elipsoid setrvačnosti.


Momenty setrvačnosti k souřadnicovým osám a deviační momenty lze uspořádat do tzv. tenzoru setrvačnosti:

 ,

kde symbol   představuje tenzorový součin, jehož výsledkem je symetrická čtvercová matice.

Plošný moment setrvačnostiEditovat

Moment setrvačnosti můžeme určovat nejenom k ose, ale také k rovině, kdy mluvíme o plošném momentu setrvačnosti.

U plošného momentu setrvačnosti se obvykle jedná o moment rovinné plochy. Pro výpočet můžeme použít vztahy pro výpočet momentu setrvačnosti k ose, přičemž položíme  . Hmotnostní element   je pak  , kde   je plošná hustota zkoumané plochy (obecně závislá na   a  ).


Plošné momenty setrvačnosti k osám   jsou tedy

 
 

Z deviačních momentů je nenulový pouze

 

Pokud je plocha homogenní (plošná hustota je konstantní), můžeme ji vytknout před integrál a vztahy se zjednoduší na

 
 
 

Namísto elipsoidu setrvačnosti dostáváme elipsu setrvačnosti.


Položíme-li do těžiště tělesa počátek pravoúhlé soustavy souřadnic, potom momenty setrvačnosti ke třem vzájemně kolmým rovinám, proloženým souřadnicovými osami, jsou

 
 
 

Srovnáním s momenty setrvačnosti k osám   pak platí

 
 
 

Polární moment setrvačnostiEditovat

Moment setrvačnosti můžeme určovat nejenom k ose, ale také k bodu, kdy se jedná o tzv. polární moment setrvačnosti.

Polární moment setrvačnosti části rovinné plochy (vzhledem k počátku souřadné soustavy  ) je

 

Související článkyEditovat

LiteraturaEditovat