Primitivní funkce k funkci na intervalu je taková funkce , že pro každé je .

Procesu hledání primitivní funkce se často říká integrování nebo integrace (od slova „integrál“), jelikož primitivní funkce se používá při určování obsahu plochy pod křivkou (integrálu) podle základní věty matematické analýzy.

Primitivní funkce a neurčitý integrálEditovat

Ke každé funkci   spojité na intervalu   existuje na tomto intervalu funkce primitivní.

Mějme funkci  , jejíž derivace je funkce  . F je tedy primitivní k f. Pokud by funkce F byla posunutá nahoru nebo dolů, její derivace bude pořád stejná. K funkci f tedy existuje nekonečně mnoho primitivních funkcí, které se liší pouze o reálnou konstantu. Tato množina primitivních funkcí se často nazývá neurčitý integrál a píšeme

 

Symbol   je označován jako integrační znak, funkce   se nazývá integrandem a symbol   slouží pouze k označení proměnné, podle které integrujeme, tzn. derivace primitivní funkce   podle této proměnné dá integrand  . Proměnnou, podle které se integruje, v tomto případě  , označujeme jako integrační proměnnou. Konstantu   nazýváme integrační konstantou.

Platí tedy

 

Hledání primitivní funkceEditovat

Integrace je opačný proces k určování derivace. Při výpočtu se vychází ze znalosti derivací vybraných funkcí, na jejichž základě je vytvořen seznam známých integrálů (tzv. tabulkové integrály). Při hledání integrálů složitějších funkcí se využívá např. linearita, metoda per partes, substituční metoda, popř. některé speciální metody.

Tabulkové integrályEditovat

Související informace naleznete také v článku Seznam základních integrálů.

Integrace per partes (po částech)Editovat

Související informace naleznete také v článku Per partes.

Integrace per partes je jedna ze základních metod používaných při integraci součinu funkcí. Vychází z pravidla pro derivaci součinu.

Substituční metodaEditovat

Související informace naleznete také v článku Substituční metoda (integrování).

Substituční metoda využívá skutečnosti, že přechodem k jiným proměnným lze v mnoha případech získat integrál, který je snáze řešitelný, např. metodou per partes nebo přímo některým ze základních integrálů.

Integrace racionálních funkcíEditovat

Související informace naleznete také v článku Integrace racionálních funkcí.

Jde o integrály tvaru  , kde   jsou polynomy. Racionální funkci   je vždy možné rozložit na součet polynomu a ryze racionální lomené funkce. Racionální lomenou funkci vyjádříme jako součet parciálních zlomků. Vzhledem k tomu, že integrace polynomu je triviální, zbývá řešit integraci lomené racionální funkce.

Integrace metodou derivování podle parametruEditovat

Integraci metodou derivování podle parametru lze využít tehdy, pokud integrujeme funkci  , v níž vystupuje nějaký parametr  , např.  . V takovém případě můžeme tento parametr formálně považovat za proměnnou. O funkci f pak můžeme uvažovat jako o funkci dvou proměnných, tzn.  . Integrací funkce f přes množinu M dostaneme funkci parametru a  , tedy

 

Pokud jsou funkce f(x,a) a   spojité v daném oboru proměnných x a a (po řadě značme M, N) a zároveň existuje integrovatelná majoranta g(x) taková, že

 
  na  , pak pro všechna a z N platí
 

Výše uvedený postup se také nazývá záměna derivace a integrálu.

Tento postup lze uplatnit při výpočtu neurčitých integrálů (za splnění příslušných podmínek) při volbě M = (0, x). Potom je

 

a záměnou derivace a integrálu

 

Racionalizace integrálůEditovat

Některé funkce je možné převést na integrály s racionálními integrandy. Říkáme pak, že integrál byl zracionalizován.

Při racionalizaci obvykle vyjádříme integrand jako racionální funkci dvou proměnných  , přičemž za proměnnou   dosadíme nějakou funkci proměnné  , tzn.  . Racionalizaci pak provedeme vhodně zvolenou substitucí.

Racionalizaci lze provést pouze pro některé typy integrandů.

Např. integrál typu

 ,

kde   je přirozené číslo a determinant  . Tento integrál lze zracionalizovat substitucí

 

Zvláštním případem integrandu z předchozího případu je  , který opět řešíme uvedenou substitucí s  .

Integrál typu

 

lze pro   zracionalizovat substitucí

 

nebo

 

Pro   lze uvedený integrál zracionalizovat substitucí

 

nebo

 

Pro   a pro reálné kořeny   rovnice   lze pro racionalizaci použít substitucí

 

Tyto substituce bývají také označovány jako Eulerovy substituce.

K racionalizaci lze také využít goniometrických funkcí. Např. integrály typu

 

lze řešit substitucí

 

nebo

 

Podobně lze integrály typu

 

řešit substitucí

 

a integrály typu

 

řešit substitucí

 

Pro integrály integrály typu

 

lze v obecném případě (pro intervaly neobsahující body   pro celá k) použít substituci

 

Výrazy získané použitím substituce této bývají však obvykle složité, proto se obvykle snažíme použít některou z následujících substitucí.

Je-li funkce   lichá v proměnné  , pak je výhodnější použít substituci

 

Pokud je funkce   lichá v proměnné  , pak můžeme použít substituci

 

Pokud je funkce   sudá v obou svých proměnných, tzn.   i  , pak lze použít substituci

 

Integrace transcendentních funkcíEditovat

K některým transcendentním funkcím je možné nalézt primitivní funkce.

Např. pokud je   racionální funkce proměnné  , pak integrál typu   lze řešit substitucí  .

Podobně lze integrál typu   můžeme řešit substitucí  .

Integrací racionální funkce nemusíme získat racionální funkci, ale může jít o funkci transcendentní. Také při integraci některých nižších transcendentních funkcí můžeme získat vyšší transcendentní funkce. Příkladem takových funkcí jsou   apod. K těmto funkcím sice existuje primitivní funkce, nelze ji však vyjádřit elementárními funkcemi v konečném tvaru.

Mezi takovéto často používané transcendentní funkce patří např.

  • Integrálsinus (integrální sinus)  
  • Integrálkosinus (integrální kosinus)  
  • Logaritmusintegrál (integrální logaritmus)  
  • Exponenciální integrál  
  • Gama funkce  .

Související článkyEditovat

ReferenceEditovat

Rektorys, K. a spol.: Přehled užité matematiky I.. Prometheus, Praha, 2003, 7. vydání. ISBN 80-7196-179-5