Otevřít hlavní menu

Cauchyova–Goursatova věta

matematická věta
(přesměrováno z Cauchyova věta)

Cauchyova–Goursatova věta (také Cauchyova věta nebo Cauchyova věta o integrálech) je věta z oblasti komplexní analýzy. Říká, že integrály holomorfních funkcí po uzavřených křivkách jsou za určitých podmínek vždy nulové. Je pojmenována po svých autorech: v jednodušší podobě (jen pro pravoúhlé oblasti) větu vyslovil roku 1814 Augustin Louis Cauchy a později ji zobecnil Edouard Goursat.

Věta zní takto: Nechť G je jednoduše souvislá a otevřená množina komplexních čísel a f je holomorfní funkce definovaná v G. Nechť C je Jordanova křivka (tj. jednoduchá uzavřená rektifikovatelná křivka) v G, která je po částech hladká. Pak integrál f po křivce C se rovná nule. Zapsáno rovnicí:

Nejjednodušší důkaz se zakládá na tom, že se integrál rozepíše na reálnou a imaginární část, pomocí Greenovy věty převede na integrál přes vnitřek křivky C a na základě Cauchyho–Riemannových podmínek se ukáže, že integrand se rovná konstantně nule. Jestliže tedy a , pak

Oba integrály lze upravit pomocí Greenovy věty:

přičemž integrandy jsou podle Cauchyho–Riemannových podmínek nulové, čímž je tvrzení dokázáno.

Opačné tvrzení, tedy že z nulovosti integrálů po uzavřených křivkách vyplývá holomorfnost funkce, se nazývá Morerova věta.

Větu lze dále zobecnit pro případ, že uvnitř křivky C se nacházejí oblasti, na kterých funkce f není holomorfní nebo není definovaná, ale tyto oblasti jsme schopni omezit po částech hladkými Jordanovými křivkami. Obecná Cauchyova–Goursatova věta zní:

Nechť C a C1, ..., Cn jsou po částech hladké a souhlasně orientované Jordanovy křivky, nechť C1, ..., Cn leží uvnitř C a vnitřky křivek C1, ..., Cn jsou navzájem disjunktní. Nechť f je holomorfní na křivce C a na jejím vnitřku s případnou výjimkou vnitřků křivek C1, ..., Cn. Pak platí