Stokesova věta

Stokesova věta^[1] je věta diferenciální geometrie, která popisuje vztah mezi křivkovým integrálem druhého druhu vektorového pole v prostoru přes hladkou uzavřenou orientovanou křivku a plošným integrálem rotace vektorového pole přes hladkou orientovanou plochu křivkou uzavřenou. Tato věta je speciálním případem tzv. zobecněné Stokesovy věty. Naopak speciálním případem Stokesovy věty v rovině je Greenova věta. Autorem Stokesovy věty je irský fyzik Georg Stokes.

Znění věty

Ilustrace Stokesovy věty s plochou

S

=

Σ

orientovanou normálou

n

a její hranicí

C

=

\partialΣ

, tj. orientovanou křivkou.

Je-li $\mathbf {F} (x,y,z)=[F_{x}(x,y,z),F_{y}(x,y,z),F_{z}(x,y,z)]$ vektorové pole se spojitými parciálními derivacemi prvního řádu na otevřené jednoduše souvislé po částech hladké kladně orientované ploše $S$ ohraničené po částech hladkou jednoduchou uzavřenou kladně orientovanou křivkou $C$ , pak platí:

$\oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =\iint _{S}\left({\nabla \times \mathbf {F} }\right)\cdot \mathbf {n} \ \mathrm {d} S=$

$=\iint _{S}({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}})\ \mathrm {d} y\ \mathrm {d} z+({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}})\ \mathrm {d} z\ \mathrm {d} x+({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}})\ \mathrm {d} x\ \mathrm {d} y=$

$=\oint _{C}(F_{x}\mathrm {d} x+F_{y}\mathrm {d} y+F_{z}\mathrm {d} z)$ ,

kde $\nabla \times \mathbf {F}$ je rotace vektorového pole $\mathbf {F} (\mathbf {r} )$ , kde $\mathrm {d} \mathbf {r} =[dx,dy,dz]$ , vyjádřená pomocí operátoru nabla a křivka $C$ je orientována tak, že při obíhání po této křivce v kladném smyslu je plocha $S$ vždy po levé straně.