Uvažuje se klasická Gaussova věta ve trojrozměrném euklidovském prostoru . Množinou M tedy budeme v tomto případě rozumět daný objem a ∂M plochu, která jej uzavírá. Vyjdeme z toho, že máme po ploše ∂M integrovat tok vektorového pole, tedy
∮
∂
M
A
⋅
d
S
=
∫
∂
M
A
x
(
x
,
y
,
z
)
d
y
∧
d
z
+
A
y
(
x
,
y
,
z
)
d
z
∧
d
x
+
A
z
(
x
,
y
,
z
)
d
x
∧
d
y
=
{\displaystyle \oint _{\partial M}\mathbf {A} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\int _{\partial M}A_{x}(x,y,z)\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+A_{y}(x,y,z)\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+A_{z}(x,y,z)\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y=}
Forma dS má v kartézských složkách poměrně jednoduchý tvar (dy ^dz ,dz ^dx ,dx ^dy ) - ten je snadné zjistit, že první složka této formy musí být element plochy, ke kterému je vektor (1,0,0) kolmý.
∧
{\displaystyle \wedge }
je vnější násobení forem. Pořadí forem dy ,dz určujících plochu je libovolné. Zbylé souřadnice se určí cyklickou záměnou , aby nedošlo kezměně orientace formy (pokud by za plošku kolmou k (1,0,0) byla zvolena naopak dz ^dy , pak pokud ostatní složky budou určeny cyklickou záměnou, výsledek bude stejný.)
Nyní se aplikuje věta - tedy zderivuje integrovaná forma. V členech jsou vždy derivace podle dvou souřadnic nulové, takže zbývá jedna, konkrétně tedy
=
∫
M
d
(
A
x
(
x
,
y
,
z
)
d
y
∧
d
z
+
A
y
(
x
,
y
,
z
)
d
z
∧
d
x
+
A
z
(
x
,
y
,
z
)
d
x
∧
d
y
)
=
{\displaystyle =\int _{M}\mathrm {d} \left(A_{x}(x,y,z)\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+A_{y}(x,y,z)\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+A_{z}(x,y,z)\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\right)=}
∫
M
∂
A
x
(
x
,
y
,
z
)
∂
x
d
y
∧
d
z
∧
d
x
+
∂
A
y
(
x
,
y
,
z
)
∂
y
d
z
∧
d
x
∧
d
y
+
∂
A
z
(
x
,
y
,
z
)
∂
z
d
x
∧
d
y
∧
d
z
=
{\displaystyle \int _{M}{\frac {\partial A_{x}(x,y,z)}{\partial x}}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+{\frac {\partial A_{y}(x,y,z)}{\partial y}}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y+{\frac {\partial A_{z}(x,y,z)}{\partial z}}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z=}
∫
M
(
∂
A
x
(
x
,
y
,
z
)
∂
x
+
∂
A
y
(
x
,
y
,
z
)
∂
y
+
∂
A
z
(
x
,
y
,
z
)
∂
z
)
d
x
∧
d
y
∧
d
z
=
{\displaystyle \int _{M}\left({\frac {\partial A_{x}(x,y,z)}{\partial x}}+{\frac {\partial A_{y}(x,y,z)}{\partial y}}+{\frac {\partial A_{z}(x,y,z)}{\partial z}}\right)\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z=}
Jakmile jsou souřadnicové formy ve správném pořadí, tak lze aplikovat tzv. hustotní duál a převést integrál z formy na běžný integrál přes objem.
=
∫
M
(
∇
⋅
A
)
d
x
d
y
d
z
=
∫
V
(
∇
⋅
A
)
d
V
.
{\displaystyle =\int _{M}\left({\nabla \cdot \mathbf {A} }\right)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=\int _{V}({\nabla \cdot \mathbf {A} })\mathrm {d} V.}
Je tedy vidět, že nám vyšla právě Gaussova věta .
Zcela obdobným postupem lze dospět ke znění Stokesovy věty .
∮
∂
Σ
A
⋅
d
τ
=
∮
∂
Σ
A
x
(
x
,
y
,
z
)
d
x
+
A
y
(
x
,
y
,
z
)
d
y
+
A
z
(
x
,
y
,
z
)
d
z
=
{\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }\mathbf {A} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\tau }}=\oint _{\partial \Sigma }A_{x}(x,y,z)\mathrm {d} x+A_{y}(x,y,z)\mathrm {d} y+A_{z}(x,y,z)\mathrm {d} z=}
Aplikuje se věta
=
∫
Σ
d
(
A
x
(
x
,
y
,
z
)
d
x
+
A
y
(
x
,
y
,
z
)
d
y
+
A
z
(
x
,
y
,
z
)
d
z
)
=
{\displaystyle =\int _{\Sigma }\mathrm {d} \left(A_{x}(x,y,z)\mathrm {d} x+A_{y}(x,y,z)\mathrm {d} y+A_{z}(x,y,z)\mathrm {d} z\right)=}
Provede se vnější derivace na jednotlivých formách
=
∫
Σ
(
∂
A
x
(
x
,
y
,
z
)
∂
y
d
x
∧
d
y
+
∂
A
x
(
x
,
y
,
z
)
∂
z
d
x
∧
d
z
+
∂
A
y
(
x
,
y
,
z
)
∂
x
d
y
∧
d
x
+
{\displaystyle =\int _{\Sigma }\left({\frac {\partial A_{x}(x,y,z)}{\partial y}}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y+{\frac {\partial A_{x}(x,y,z)}{\partial z}}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} z+{\frac {\partial A_{y}(x,y,z)}{\partial x}}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} x+\right.}
+
∂
A
y
(
x
,
y
,
z
)
∂
z
d
y
∧
d
z
+
∂
A
z
(
x
,
y
,
z
)
∂
x
d
z
∧
d
x
+
∂
A
z
(
x
,
y
,
z
)
∂
y
d
z
∧
d
y
)
=
{\displaystyle \left.+{\frac {\partial A_{y}(x,y,z)}{\partial z}}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+{\frac {\partial A_{z}(x,y,z)}{\partial x}}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+{\frac {\partial A_{z}(x,y,z)}{\partial y}}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} y\right)=}
Protože vnější součin je na 1-formách antisymetrický, posbírá se integrál podle jednotlivých 2-forem
=
∫
Σ
(
∂
A
x
(
x
,
y
,
z
)
∂
y
−
∂
A
y
(
x
,
y
,
z
)
∂
x
)
d
x
∧
d
y
+
{\displaystyle =\int _{\Sigma }\left({\frac {\partial A_{x}(x,y,z)}{\partial y}}-{\frac {\partial A_{y}(x,y,z)}{\partial x}}\right)\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y+}
+
(
∂
A
y
(
x
,
y
,
z
)
∂
z
−
∂
A
z
(
x
,
y
,
z
)
∂
y
)
d
y
∧
d
z
+
(
∂
A
x
(
x
,
y
,
z
)
∂
z
−
∂
A
z
(
x
,
y
,
z
)
∂
x
)
d
x
∧
d
z
=
{\displaystyle +\left({\frac {\partial A_{y}(x,y,z)}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}(x,y,z)}{\partial y}}\right)\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+\left({\frac {\partial A_{x}(x,y,z)}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}(x,y,z)}{\partial x}}\right)\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} z=}
Lze si všimnout, že (jsou-li jednotlivé formy ve správném pořadí podle indexů) jde o Stokesovu větu
=
∫
Σ
(
∇
×
A
)
⋅
d
S
{\displaystyle =\int _{\Sigma }\left({\nabla \times \mathbf {A} }\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }