Zobecněná Stokesova věta

Zobecněná Stokesova věta je v diferenciální geometrii tvrzení o integraci diferenciálních forem, které zobecňuje a zahrnuje několik vět vektorového počtu. Je pojmenovaná po Georgi Gabrielu Stokesovi, ačkoliv poprvé tuto větu pravděpodobně zformuloval William Thomson.

Znění věty

Buď M varieta dimenze k v prostoru dimenze n s okrajem a buď $\omega$ k−1 rozměrná diferenciální forma na M. Označíme-li ∂M okraj M s příslušnou kladnou orientací, pak platí:

$\int _{M}d\omega =\int _{\partial M}\omega .\!\,$

kde d je vnější derivace diferenciální formy.

• Pro n=1, k=1 přechází na druhou základní větu integrálního počtu,
• pro n=2, k=2 přechází na Greenovu větu,
• pro n=3, k=1 přechází na větu o potenciálu pro třírozměrný křivkový integrál 2. druhu,
• pro n=3, k=2 přechází na klasickou Stokesovu větu,
• pro n=3, k=3 přechází na Gaussovu větu.

Odvození jednotlivých integrálních vět ze zobecněné Stokesovy věty

Gaussova věta

Uvažuje se klasická Gaussova věta ve trojrozměrném euklidovském prostoru. Množinou M tedy budeme v tomto případě rozumět daný objem a ∂M plochu, která jej uzavírá. Vyjdeme z toho, že máme po ploše ∂M integrovat tok vektorového pole, tedy

$\oint _{\partial M}\mathbf {A} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\int _{\partial M}A_{x}(x,y,z)\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+A_{y}(x,y,z)\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+A_{z}(x,y,z)\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y=$

Forma dS má v kartézských složkách poměrně jednoduchý tvar (dy^dz,dz^dx,dx^dy) - ten je snadné zjistit, že první složka této formy musí být element plochy, ke kterému je vektor (1,0,0) kolmý. $\wedge$ je vnější násobení forem. Pořadí forem dy,dz určujících plochu je libovolné. Zbylé souřadnice se určí cyklickou záměnou, aby nedošlo kezměně orientace formy (pokud by za plošku kolmou k (1,0,0) byla zvolena naopak dz^dy, pak pokud ostatní složky budou určeny cyklickou záměnou, výsledek bude stejný.)

Nyní se aplikuje věta - tedy zderivuje integrovaná forma. V členech jsou vždy derivace podle dvou souřadnic nulové, takže zbývá jedna, konkrétně tedy

$=\int _{M}\mathrm {d} \left(A_{x}(x,y,z)\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+A_{y}(x,y,z)\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+A_{z}(x,y,z)\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\right)=$

$\int _{M}{\frac {\partial A_{x}(x,y,z)}{\partial x}}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+{\frac {\partial A_{y}(x,y,z)}{\partial y}}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y+{\frac {\partial A_{z}(x,y,z)}{\partial z}}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z=$

$\int _{M}\left({\frac {\partial A_{x}(x,y,z)}{\partial x}}+{\frac {\partial A_{y}(x,y,z)}{\partial y}}+{\frac {\partial A_{z}(x,y,z)}{\partial z}}\right)\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z=$

Jakmile jsou souřadnicové formy ve správném pořadí, tak lze aplikovat tzv. hustotní duál a převést integrál z formy na běžný integrál přes objem.

$=\int _{M}\left({\nabla \cdot \mathbf {A} }\right)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=\int _{V}({\nabla \cdot \mathbf {A} })\mathrm {d} V.$

Je tedy vidět, že nám vyšla právě Gaussova věta.

Stokesova věta

Zcela obdobným postupem lze dospět ke znění Stokesovy věty.

$\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {A} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\tau }}=\oint _{\partial \Sigma }A_{x}(x,y,z)\mathrm {d} x+A_{y}(x,y,z)\mathrm {d} y+A_{z}(x,y,z)\mathrm {d} z=$

Aplikuje se věta

$=\int _{\Sigma }\mathrm {d} \left(A_{x}(x,y,z)\mathrm {d} x+A_{y}(x,y,z)\mathrm {d} y+A_{z}(x,y,z)\mathrm {d} z\right)=$

Provede se vnější derivace na jednotlivých formách

$=\int _{\Sigma }\left({\frac {\partial A_{x}(x,y,z)}{\partial y}}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y+{\frac {\partial A_{x}(x,y,z)}{\partial z}}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} z+{\frac {\partial A_{y}(x,y,z)}{\partial x}}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} x+\right.$$\left.+{\frac {\partial A_{y}(x,y,z)}{\partial z}}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+{\frac {\partial A_{z}(x,y,z)}{\partial x}}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+{\frac {\partial A_{z}(x,y,z)}{\partial y}}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} y\right)=$

Protože vnější součin je na 1-formách antisymetrický, posbírá se integrál podle jednotlivých 2-forem

$=\int _{\Sigma }\left({\frac {\partial A_{x}(x,y,z)}{\partial y}}-{\frac {\partial A_{y}(x,y,z)}{\partial x}}\right)\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y+$$+\left({\frac {\partial A_{y}(x,y,z)}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}(x,y,z)}{\partial y}}\right)\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+\left({\frac {\partial A_{x}(x,y,z)}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}(x,y,z)}{\partial x}}\right)\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} z=$

Lze si všimnout, že (jsou-li jednotlivé formy ve správném pořadí podle indexů) jde o Stokesovu větu

$=\int _{\Sigma }\left({\nabla \times \mathbf {A} }\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S}$