Zobecněná Stokesova věta

Zobecněná Stokesova věta je v diferenciální geometrii tvrzení o integraci diferenciálních forem, které zobecňuje a zahrnuje několik vět vektorového počtu. Je pojmenovaná po Georgi Gabrielu Stokesovi, ačkoliv poprvé tuto větu pravděpodobně zformuloval William Thomson.

Znění větyEditovat

Buď M varieta dimenze k v prostoru dimenze n s okrajem a buď   k−1 rozměrná diferenciální forma na M. Označíme-li ∂M okraj M s příslušnou kladnou orientací, pak platí:

 

kde d je vnější derivace diferenciální formy.

Odvození jednotlivých integrálních vět ze zobecněné Stokesovy větyEditovat

Gaussova větaEditovat

Uvažuje se klasická Gaussova věta ve trojrozměrném euklidovském prostoru. Množinou M tedy budeme v tomto případě rozumět daný objem a ∂M plochu, která jej uzavírá. Vyjdeme z toho, že máme po ploše ∂M integrovat tok vektorového pole, tedy

 

Forma dS má v kartézských složkách poměrně jednoduchý tvar (dy^dz,dz^dx,dx^dy) - ten je snadné zjistit, že první složka této formy musí být element plochy, ke kterému je vektor (1,0,0) kolmý.   je vnější násobení forem. Pořadí forem dy,dz určujících plochu je libovolné. Zbylé souřadnice se určí cyklickou záměnou, aby nedošlo kezměně orientace formy (pokud by za plošku kolmou k (1,0,0) byla zvolena naopak dz^dy, pak pokud ostatní složky budou určeny cyklickou záměnou, výsledek bude stejný.)

Nyní se aplikuje věta - tedy zderivuje integrovaná forma. V členech jsou vždy derivace podle dvou souřadnic nulové, takže zbývá jedna, konkrétně tedy

 
 
 

Jakmile jsou souřadnicové formy ve správném pořadí, tak lze aplikovat tzv. hustotní duál a převést integrál z formy na běžný integrál přes objem.

 

Je tedy vidět, že nám vyšla právě Gaussova věta.

Stokesova větaEditovat

Zcela obdobným postupem lze dospět ke znění Stokesovy věty.

 

Aplikuje se věta

 

Provede se vnější derivace na jednotlivých formách

  

Protože vnější součin je na 1-formách antisymetrický, posbírá se integrál podle jednotlivých 2-forem

  

Lze si všimnout, že (jsou-li jednotlivé formy ve správném pořadí podle indexů) jde o Stokesovu větu