Otevřít hlavní menu

Diferenciální forma

Diferenciální forma stupně k neboli diferenciální k-forma je matematické zobecnění funkcí na hladké varietě. Formálně jde o funkci s hodnotami ve vnější tenzorové mocnině konečného prostoru. Ekvivalentně, diferenciální forma je antisymetrická multilineární funkce, která k vektorovým polím přiřadí skalární funkci.

Méně formálně, diferenciální -forma je objekt, který se dá integrovat přes k-rozměrné podvariety.

Někdy se pod pojmem diferenciální forma rozumí lineární diferenciální forma (1. stupně, 1-forma, Pfaffova forma), které mají důležité uplatnění např. v termodynamice. V souřadnicích se dá lokálně vyjádřit jako

.

PříkladEditovat

Nejznámější příklad je diferenciál funkce  , který se v lokálních souřadnicích dá vyjádřit jako

 . Toto vyjádření nezávisí na volbě souřadnic   a pro vektorové pole   je   (derivace funkce   vektorovým polem  ).

DefiniceEditovat

  je hladká varieta. Zobrazení   nazveme vnější diferenciální  -formou, pokud   je hladké zobrazení a  , kde   je tzv. vnější mocnina vektorového prostoru  . Často označujeme   symbolem  .

Prostor vnějších diferenciálních  -forem označujeme symbolem  .

Jsou-li   souřadnice z atlasu na  , potom   kde   je multindex délky   a    .

De Rhamův komplexEditovat

Prostor diferenciálních forem stupně k na varietě M dimenze n se značí  , prostor všech diferenciálních forem  . Na prostoru k-forem je dán De Rhamův diferenciál  . Posloupnost   se nazývá De Rhamův komplex a jeho kohomologie jsou izomorfní singulárním kohomologiím s hodnotami v  .