Vnější součin

Vnější součin je v matematice (n-1)-ární operace násobení vektorů v n-rozměrném vektorovém prostoru se skalárním součinem. Výsledkem této operace je vektor kolmý ke všem násobeným vektorům a jeho velikost je rovna objemu (n-1) rozměrného rovnoběžnostěnu násobenými vektory sevřeného.

Objem trojrozměrného rovnoběžnostěnu sevřeného vektory $r_{1}$, $r_{2}$ a $r_{3}$.

Definice

Mějme aritmetický vektorový prostor $\mathbb {R} ^{n}$ s ortonormální bází nad číselným tělesem $\mathbb {R}$, pak pro vektory $\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{n}\in \mathbb {R} ^{n}$ platí, že vektor $\mathbf {v} _{1}$ je vnějším součinem vektorů $\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}$ vzhledem k uvedené bázi, právě když:

$\mathbf {v} _{1}=\bigwedge (\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n})=[(-1)^{1+1}detA_{1},\cdots ,(-1)^{n+1}detA_{n}]$,

symbolem $\bigwedge$ značíme vnější součin a matice $A_{i}$ pro $i\in \{1,\dots ,n\}$ vznikly vynecháním i-tého sloupce matice:

${\begin{bmatrix}v_{2}{}^{1}&\cdots &v_{2}{}^{n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\v_{n}{}^{1}&\cdots &v_{n}{}^{n}\\\end{bmatrix}}$

kde dolní index označuje index vektoru a horní index označuje index jeho souřadnice vzhledem k dané bázi.

Vektorový součin

Podrobnější informace naleznete v článku Vektorový součin.

Mějme aritmetický vektorový prostor $\mathbb {R} ^{3}$ s kanonickou bází nad číselným tělesem $\mathbb {R}$, pak pro vektory $\mathbf {z} ,\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{3}$ platí, že vektor $\mathbf {z}$ je vnějším součinem vektorů $\mathbf {x} ,\mathbf {y}$ vzhledem k uvedené bázi, právě když:

$\mathbf {z} =\mathbf {x} \times \mathbf {y} =[{\begin{vmatrix}x_{2}&x_{3}\\y_{2}&y_{3}\\\end{vmatrix}},-{\begin{vmatrix}x_{1}&x_{3}\\y_{1}&y_{3}\\\end{vmatrix}},{\begin{vmatrix}x_{1}&x_{2}\\y_{1}&y_{2}\\\end{vmatrix}}]=[x_{2}y_{3}-y_{2}x_{3},y_{1}x_{3}-x_{1}y_{3},x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2}]$, tj.:

$|\mathbf {z} |^{2}=(x_{2}y_{3}-y_{2}x_{3})^{2}+(y_{1}x_{3}-x_{1}y_{3})^{2}+(x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2})^{2}=|\mathbf {x} |^{2}|\mathbf {y} |^{2}-(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )^{2}=|\mathbf {x} |^{2}|\mathbf {y} |^{2}(1-cos^{2}\varphi )=|\mathbf {x} |^{2}|\mathbf {y} |^{2}sin^{2}\varphi$,

přičemž smíšený součin $\mathbf {x} \cdot (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )=0$ a $\mathbf {y} \cdot (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )=0$, tj. vektor $\mathbf {z}$ je kolmý na vektory $\mathbf {x}$ a $\mathbf {y}$ a jeho velikost je rovna obsahu rovnoběžníku sevřeného násobenými vektory, tj. vektor $\mathbf {z}$ je vektorovým součinem vektorů $\mathbf {x}$ a $\mathbf {y}$.

Související články

• Vektorový součin
• Skalární součin
• Smíšený součin

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Vnější součin na Wikimedia Commons