Otevřít hlavní menu
Rovnoběžník

Rovnoběžník (latinsky parallelogrammum, někdy též r(h)omboid; ve starší české literatuře kosodélník) je čtyřúhelník, jehož protilehlé strany jsou rovnoběžné.

Obsah

VlastnostiEditovat

Rovnoběžník má 4 strany, 4 vrcholy, 4 úhly, jejichž součet je   (360°). Z rovnoběžnosti protilehlých stran plyne, že velikost protilehlých stran je stejná, tzn.

 

Z toho plyne, že také velikost protilehlých úhlů má stejnou velikost, tzn.

 

Protože  , platí

 

Obecně má rovnoběžník různou velikost přilehlých stran, tj.  , a úhly různé od pravých úhlů, tj.  . Pokud jsou přilehlé strany stejně velké, tj.  , nazýváme takový rovnoběžník kosočtvercem. Pokud jsou úhly pravé, tj.  , nazýváme takový rovnoběžník obdélníkem. Rovnoběžník, který je kosočtvercem a obdélníkem zároveň, nazýváme čtvercem. Rovnoběžník, který není ani obdélníkem, ani čtvercem, nazýváme kosodélníkem. Tento výraz je někdy užíván pro libovolný rovnoběžník, včetně obdélníku a čtverce.

Úhlopříčky rovnoběžníku se vzájemně půlí. Délky úhlopříček jsou

 
 

ObsahEditovat

Obsah rovnoběžníku je roven

 ,

kde   a   jsou délky přilehlých stran rovnoběžníku a   je výška ke straně  , obdobně   je výška ke straně  ,   je vnitřní úhel mezi přilehlými stranami.

V roviněEditovat

Pokud jsou vrcholy   zadány pomocí souřadnic v rovině, tj.  ,  , atd., je obsah rovnoběžníku roven absolutní hodnotě determinantu sestaveného ze souřadnic libovolných tří vrcholů takto

 

Ztotožníme-li, pro jednoduchost, vrchol   s počátkem souřadného systému, tj.  , pak tedy

 

Zcela analogicky lze spočítat objem libovolného rovnoběžnostěnu, resp. nadobjem libovoného  -rozměrného nadrovnoběžnostěnu (v  -rozměrném prostoru).

V trojrozměrném prostoruEditovat

Pokud jsou vrcholy   zadány pomocí souřadnic v prostoru, tj.  ,  , atd., a zavedeme-li stranové vektory

 

je obsah rovnoběžníku roven euklidovské normě (délce) vektoru  , kde " " značí vektorový součin dvou vektorů. Tedy

 

kde " " značí skalární součin dvou vektorů.

Pokud mají směrové vektory nulové složky ve směru osy  , tj.

 

pak

 

čímž dostaneme právě vztah pro výpočet obsahu rovnoběžníka v rovině.

Ztotožníme-li, pro jednoduchost, vrchol   s počátkem souřadného systému, tj.  , pak

 

v obecném případě, respektive

 

v případě, že směrové vektory mají navíc nulové složky ve směru osy  .

Zobecněním vektorového součinu do  -rozměrného prostoru (jedná se o součin   lineárně nezávislých vektorů délky  , jehož výsledkem je vektor kolmý na všechny předchozí, tvořící s nimi, v daném pořadí, pravotočivou bázi) lze zcela analogicky spočítat nadobsah libovolného  -rozměrného nadrovnoběžníku v  -rozměrném prostoru.

V n-rozměrném (reálném) prostoruEditovat

Pokud je rovnoběžník dán dvěma stranovými vektory v obecném reálném  -rozměrném prostoru

 

pak jeho obsah je dán vztahem

 

kde " ", resp. " " značí skalární součin dvou vektorů.

Dosazením

 

opět dostáváme známý vztah pro obsah rovnoběžníku v rovině.

LiteraturaEditovat

  • Karel Rektorys a kolektiv: Přehled užité matematiky I, Prometheus, Praha 1995, ISBN 80-85849-92-5, str. 97
  • Marcela Palková a kolektiv: Průvodce matematikou 2, Didaktis, Brno 2007, ISBN 978-80-7358-083-4, str. 54-55

Související článkyEditovat