Rovnoběžník

Rovnoběžník

Rovnoběžník (latinsky parallelogrammum, někdy též r(h)omboid; ve starší české literatuře kosodélník) je čtyřúhelník, jehož protilehlé strany jsou rovnoběžné.

Obsah

Vlastnosti

Rovnoběžník má 4 strany, 4 vrcholy, 4 úhly, jejichž součet je $2\pi$ (360°). Z rovnoběžnosti protilehlých stran plyne, že velikost protilehlých stran je stejná, tzn.

$a=|AB|=|CD|=c,\qquad d=|AD|=|BC|=b.$

Z toho plyne, že také velikost protilehlých úhlů má stejnou velikost, tzn.

$\alpha =\angle DAB=\angle BCD=\gamma ,\qquad \beta =\angle ABC=\angle CDA=\delta .$

Protože $\alpha +\beta +\gamma +\delta =2(\alpha +\beta )=2\pi$, platí

$\alpha =\pi -\beta .$

Obecně má rovnoběžník různou velikost přilehlých stran, tj. $a\neq b$, a úhly různé od pravých úhlů, tj. $\alpha \neq \beta$. Pokud jsou přilehlé strany stejně velké, tj. $a=b=c=d$, nazýváme takový rovnoběžník kosočtvercem. Pokud jsou úhly pravé, tj. $\alpha =\beta =\gamma =\delta =\pi /2$, nazýváme takový rovnoběžník obdélníkem. Rovnoběžník, který je kosočtvercem a obdélníkem zároveň, nazýváme čtvercem. Rovnoběžník, který není ani obdélníkem, ani čtvercem, nazýváme kosodélníkem. Tento výraz je někdy užíván pro libovolný rovnoběžník, včetně obdélníku a čtverce.

Úhlopříčky rovnoběžníku se vzájemně půlí. Délky úhlopříček jsou

$e=|AC|={\sqrt {a^{2}+d^{2}+2ad\cos \alpha }}={\sqrt {(a+h_{a}{\mbox{cotg}}\,\alpha )^{2}+h_{a}^{2}}}\,,$

$f=|BD|={\sqrt {a^{2}+d^{2}-2ad\cos \alpha }}={\sqrt {(a-h_{a}{\mbox{cotg}}\,\alpha )^{2}+h_{a}^{2}}}\,.$

Obsah

Obsah rovnoběžníku je roven

$S=ah_{a}=bh_{b}=ab\sin \alpha$,

kde $a=|AB|$ a $b=|AD|$ jsou délky přilehlých stran rovnoběžníku a $h_{a}$ je výška ke straně $AB$, obdobně $h_{b}$ je výška ke straně $AD$, $\alpha$ je vnitřní úhel mezi přilehlými stranami.

V rovině

Pokud jsou vrcholy $A,B,C,D$ zadány pomocí souřadnic v rovině, tj. $A=(x_{A},y_{A})$, $B=(x_{B},y_{B})$, atd., je obsah rovnoběžníku roven absolutní hodnotě determinantu sestaveného ze souřadnic libovolných tří vrcholů takto

$S=\left|\det \left({\begin{array}{cc}x_{B}-x_{A}&x_{D}-x_{A}\\y_{B}-y_{A}&y_{D}-y_{A}\end{array}}\right)\right|=|(x_{B}y_{D}-x_{D}y_{B})-(x_{A}y_{D}-x_{D}y_{A})+(x_{A}y_{B}-x_{B}y_{A})|.$

Ztotožníme-li, pro jednoduchost, vrchol $A$ s počátkem souřadného systému, tj. $A=(0,0)$, pak tedy

$S=|x_{B}y_{D}-x_{D}y_{B}|.$

Zcela analogicky lze spočítat objem libovolného rovnoběžnostěnu, resp. nadobjem libovoného $n$-rozměrného nadrovnoběžnostěnu (v $n$-rozměrném prostoru).

V trojrozměrném prostoru

Pokud jsou vrcholy $A,B,C,D$ zadány pomocí souřadnic v prostoru, tj. $A=(x_{A},y_{A},z_{A})$, $B=(x_{B},y_{B},z_{B})$, atd., a zavedeme-li stranové vektory

$\mathbf {a} =(x_{B}-x_{A},y_{B}-y_{A},z_{B}-z_{A}),\qquad \mathbf {b} =(x_{D}-x_{A},y_{D}-y_{A},z_{D}-z_{A}),$

je obsah rovnoběžníku roven euklidovské normě (délce) vektoru $\mathbf {a} \times \mathbf {b}$, kde "$\times$" značí vektorový součin dvou vektorů. Tedy

$S=\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|_{2}={\Big (}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} ){\Big )}^{1/2}$

kde "$\,\cdot \,$" značí skalární součin dvou vektorů.

Pokud mají směrové vektory nulové složky ve směru osy $z$, tj.

$\mathbf {a} =(x_{B}-x_{A},y_{B}-y_{A},0),\qquad \mathbf {b} =(x_{D}-x_{A},y_{D}-y_{A},0),$

pak

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\Big (}0,0,(x_{B}y_{D}-x_{D}y_{B})-(x_{A}y_{D}-x_{D}y_{A})+(x_{A}y_{B}-x_{B}y_{A}){\Big )},$

čímž dostaneme právě vztah pro výpočet obsahu rovnoběžníka v rovině.

Ztotožníme-li, pro jednoduchost, vrchol $A$ s počátkem souřadného systému, tj. $A=(0,0,0)$, pak

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =(y_{B}z_{D}-y_{D}z_{B},x_{D}z_{B}-x_{B}z_{D},x_{B}y_{D}-x_{D}y_{B})$

v obecném případě, respektive

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =(0,0,x_{B}y_{D}-x_{D}y_{B})$

v případě, že směrové vektory mají navíc nulové složky ve směru osy $z$.

Zobecněním vektorového součinu do $n$-rozměrného prostoru (jedná se o součin $(n-1)$ lineárně nezávislých vektorů délky $n$, jehož výsledkem je vektor kolmý na všechny předchozí, tvořící s nimi, v daném pořadí, pravotočivou bázi) lze zcela analogicky spočítat nadobsah libovolného $(n-1)$-rozměrného nadrovnoběžníku v $n$-rozměrném prostoru.

V n-rozměrném (reálném) prostoru

Pokud je rovnoběžník dán dvěma stranovými vektory v obecném reálném $n$-rozměrném prostoru

$\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}),\qquad \mathbf {b} =(b_{1},b_{2},b_{3},\ldots ,b_{n}),$

pak jeho obsah je dán vztahem

$S={\sqrt {\|\mathbf {a} \|_{2}^{2}\|\mathbf {b} \|_{2}^{2}-\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle ^{2}}}={\Big (}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} )-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}{\Big )}^{1/2},$

kde "$\langle \,,\,\rangle$", resp. "$\,\cdot \,$" značí skalární součin dvou vektorů.

Dosazením

$\mathbf {a} =(x_{B}-x_{A},y_{B}-y_{A},0,\ldots ,0),\qquad \mathbf {b} =(x_{D}-x_{A},y_{D}-y_{A},0,\ldots ,0),$

opět dostáváme známý vztah pro obsah rovnoběžníku v rovině.

Literatura

• Karel Rektorys a kolektiv: Přehled užité matematiky I, Prometheus, Praha 1995, ISBN 80-85849-92-5, str. 97
• Marcela Palková a kolektiv: Průvodce matematikou 2, Didaktis, Brno 2007, ISBN 978-80-7358-083-4, str. 54-55

Související články

• Geometrický útvar
• Čtyřúhelník
• Rovnoběžnostěn

Portály: Matematika