Rovnoběžník

Rovnoběžník (latinsky parallelogrammum, někdy též r(h)omboid; ve starší české literatuře kosodélník) je čtyřúhelník, jehož protilehlé strany jsou rovnoběžné.

Rovnoběžník

VlastnostiEditovat

Protější strany rovnoběžníku jsou shodné (mají stejnou délku) :  

Protější úhly rovnoběžníku jsou shodné. Součet velikostí vnitřních úhlů čtyřúhelníku je 360°, součet dvou sousedních úhlů je 180°.

Velikost protilehlých úhlů má stejnou velikost, platí   Průsečík úhlopříček e, f rovnoběžníku je jeho středem souměrnosti. Úhlopříčka rozděluje rovnoběžník na dva shodné trojúhelníky.

Úhlopříčky rovnoběžníku se vzájemně půlí. Délky úhlopříček se počítají podle vzorce:

 
 

Rovnoběžník je ​středově souměrný, středem souměrnosti je průsečík jeho úhlopříček.

Shrnutí vlastností čtyřúhelníků. [1]

ROVNOBĚŽNÍKY
čtverec obdélník kosočtverec kosodélník
       
všechny strany jsou stejně dlouhé sousední strany mají různé délky všechny strany jsou stejně dlouhé sousední strany mají různé délky
všechny vnitřní úhly jsou pravé žádný vnitřní úhel není pravý
úhlopříčky se navzájem půlí
úhlopříčky mají stejnou délku úhlopříčky mají různé délky
úhlopříčky jsou k sobě kolmé úhlopříčky nejsou k sobě kolmé úhlopříčky jsou k sobě kolmé úhlopříčky nejsou k sobě kolmé
úhlopříčky půlí vnitřní úhly úhlopříčky nepůlí vnitřní úhly úhlopříčky půlí vnitřní úhly úhlopříčky nepůlí vnitřní úhly

ObsahEditovat

Obsah rovnoběžníku je roven:  ,

kde   a   jsou délky přilehlých stran rovnoběžníku a   je výška ke straně  , obdobně   je výška ke straně  ,   je vnitřní úhel mezi přilehlými stranami.

V roviněEditovat

Pokud jsou vrcholy   zadány pomocí souřadnic v rovině, tj.  ,  , atd., je obsah rovnoběžníku roven absolutní hodnotě determinantu sestaveného ze souřadnic libovolných tří vrcholů takto

 

Ztotožníme-li, pro jednoduchost, vrchol   s počátkem souřadného systému, tj.  , pak tedy

 

Zcela analogicky lze spočítat objem libovolného rovnoběžnostěnu, resp. nadobjem libovoného  -rozměrného nadrovnoběžnostěnu (v  -rozměrném prostoru).

V trojrozměrném prostoruEditovat

Pokud jsou vrcholy   zadány pomocí souřadnic v prostoru, tj.  ,  , atd., a zavedeme-li stranové vektory

 

je obsah rovnoběžníku roven euklidovské normě (délce) vektoru  , kde " " značí vektorový součin dvou vektorů. Tedy

 

kde " " značí skalární součin dvou vektorů.

Pokud mají směrové vektory nulové složky ve směru osy  , tj.

 

pak

 

čímž dostaneme právě vztah pro výpočet obsahu rovnoběžníka v rovině.

Ztotožníme-li, pro jednoduchost, vrchol   s počátkem souřadného systému, tj.  , pak

 

v obecném případě, respektive

 

v případě, že směrové vektory mají navíc nulové složky ve směru osy  .

Zobecněním vektorového součinu do  -rozměrného prostoru (jedná se o součin   lineárně nezávislých vektorů délky  , jehož výsledkem je vektor kolmý na všechny předchozí, tvořící s nimi, v daném pořadí, pravotočivou bázi) lze zcela analogicky spočítat nadobsah libovolného  -rozměrného nadrovnoběžníku v  -rozměrném prostoru.

V n-rozměrném (reálném) prostoruEditovat

Pokud je rovnoběžník dán dvěma stranovými vektory v obecném reálném  -rozměrném prostoru

 

pak jeho obsah je dán vztahem

 

kde " ", resp. " " značí skalární součin dvou vektorů.

Dosazením

 

opět dostáváme známý vztah pro obsah rovnoběžníku v rovině.

ReferenceEditovat

  1. ODVÁRKO, Oldřich; KADLEČEK, Jiří. Matematika pro 7. ročník základní školy. [3], Shodnost. Středová souměrnost. Čtyřúhelníky, hranoly. 1. vyd. vyd. Praha: Prometheus, 1999. 87 s. s. Dostupné online. ISBN 80-7196-129-9, ISBN 978-80-7196-129-1. OCLC 41530899 

LiteraturaEditovat

  • Karel Rektorys a kolektiv: Přehled užité matematiky I, Prometheus, Praha 1995, ISBN 80-85849-92-5, str. 97
  • Marcela Palková a kolektiv: Průvodce matematikou 2, Didaktis, Brno 2007, ISBN 978-80-7358-083-4, str. 54-55

Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat