Smíšený součin[1] je v matematice operace násobení vektorů v trojrozměrném vektorovém prostoru se skalárním součinem, kterou lze definovat jako skalární součin prvního vektoru s vektorovým součinem druhého a třetího vektoru.

Definice

editovat

Mějme aritmetický vektorový prostor   s kanonickou bází nad číselným tělesem  , pak vektory   v daném pořadí tvoří smíšený součin, platí-li:

 ,

kde   pro   jsou složky vektorů  .

Vlastnosti

editovat
 
Objem rovnoběžnostěnu je absolutní hodnotou determinantu vektorů  ,   a  .
  • Geometrický význam smíšeného součinu je objem rovnoběžnostěnu jimi určeného.
  • Při záměně libovolných dvou vektorů ve smíšeném součinu zůstává absolutní hodnota výsledku stejná, výsledek ale změní znaménko, tj. výsledek smíšeného součinu závisí na pořadí vektorů.
  • Vektorový součin kolineárních vektorů je nulový vektor, tj. smíšený součin je pak roven nule.
  • Smíšený součin vektorů kladně orientované kanonické báze je roven jedné.
  • Smíšený součin je jednotková antisymetrická trilineární forma, lze jej vyjádřit pomocí Levi-Civitova symbolu   s Einsteinovou sumační konvencí:  .

Reference

editovat
  1. BICAN, Ladislav. Linearni algebra a geometrie (upr. vydání). [s.l.]: Academia, 2009. ISBN 978-80-200-1707-9. 

Související články

editovat