Smíšený součin

Smíšený součin je v matematice operace násobení vektorů v trojrozměrném vektorovém prostoru se skalárním součinem, kterou lze definovat jako skalární součin prvního vektoru s vektorovým součinem druhého a třetího vektoru.

Definice

Mějme aritmetický vektorový prostor $\mathbb {R} ^{3}$ s kanonickou bází nad číselným tělesem $\mathbb {R}$, pak vektory $\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} \in \mathbb {R} ^{3}$ v daném pořadí tvoří smíšený součin, platí-li:

$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=det[\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} ]={\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}=a_{1}b_{2}c_{3}-a_{1}b_{3}c_{2}+a_{2}b_{3}c_{1}-a_{2}b_{1}c_{3}+a_{3}b_{1}c_{2}-a_{3}b_{2}c_{1}$,

kde $a_{i},b_{i},c_{i}$ pro $i\in \{1,2,3\}$ jsou složky vektorů $\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c}$.

Vlastnosti

Objem rovnoběžnostěnu je absolutní hodnotou determinantu vektorů $r_{1}$, $r_{2}$ a $r_{3}$.

• Geometrický význam smíšeného součinu je objem rovnoběžnostěnu jimi určeného.
• Při záměně libovolných dvou vektorů ve smíšeném součinu zůstává absolutní hodnota výsledku stejná, výsledek ale změní znaménko, tj. výsledek smíšeného součinu závisí na pořadí vektorů.
• Vektorový součin kolineárních vektorů je nulový vektor, tj. smíšený součin je pak roven nule.
• Smíšený součin vektorů kladně orientované kanonické báze je roven jedné.
• Smíšený součin je jednotková antisymetrická trilineární forma, lze jej vyjádřit pomocí Levi-Civitova symbolu $\varepsilon$ s Einsteinovou sumační konvencí: $[\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} ]=\varepsilon _{ijk}a_{i}b_{j}c_{k}$.

Související články

• Vektorový prostor
• Skalární součin
• Vektorový součin