Komentář k návrhu: do samostatných článků pro jednotlivé druhy operátorů a na této stránce nechat jen základní a obecné informace
Operátorem
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
matematice takové zobrazení , které prvku nějakého prostoru (např. funkci ) f přiřazuje prvek jiného prostoru g , tzn.
A
^
f
=
g
{\displaystyle {\hat {A}}f=g}
kde
f
∈
X
,
g
∈
Y
{\displaystyle f\in \mathbf {X} ,g\in \mathbf {Y} }
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
f tedy získáme g . Říkáme, že na X je dán operátor
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
X do prostoru Y .
Operátor obvykle značíme stříškou, např.
H
^
,
p
^
{\displaystyle {\hat {H}},{\hat {p}}}
Prvek
f
∈
X
{\displaystyle f\in \mathbf {X} }
vzorem (originálem ), prvek
g
∈
Y
{\displaystyle g\in \mathbf {Y} }
obrazem .
Množina všech
g
∈
Y
{\displaystyle g\in \mathbf {Y} }
f
∈
X
{\displaystyle f\in \mathbf {X} }
obor hodnot operátoru
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
R
n
g
(
A
^
)
{\displaystyle \mathrm {Rng} ({\hat {A}})}
f
∈
X
{\displaystyle f\in \mathbf {X} }
f
∈
X
{\displaystyle f\in X}
definičním oborem operátoru
Jako operátor se v matematice a informatice dále označuje symbol nějaké matematické transformace, například znaménko + jako symbol přičítání.
Obsah
Lineární operátor Editovat Lineární operátor
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
A
^
(
∑
i
c
i
f
i
)
=
∑
i
c
i
(
A
^
f
i
)
{\displaystyle {\hat {A}}(\sum _{i}c_{i}f_{i})=\sum _{i}c_{i}({\hat {A}}f_{i})}
kde
f
i
{\displaystyle f_{i}}
c
i
{\displaystyle c_{i}}
Linearitu operátoru
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
c
1
,
c
2
{\displaystyle c_{1},c_{2}}
f
1
,
f
2
,
g
1
,
g
2
{\displaystyle f_{1},f_{2},g_{1},g_{2}}
g
1
=
A
^
f
1
{\displaystyle g_{1}={\hat {A}}f_{1}}
g
2
=
A
^
f
2
{\displaystyle g_{2}={\hat {A}}f_{2}}
A
^
(
c
1
f
1
+
c
2
f
2
)
=
c
1
A
^
f
1
+
c
2
A
^
f
2
=
c
1
g
1
+
c
2
g
2
{\displaystyle {\hat {A}}(c_{1}f_{1}+c_{2}f_{2})=c_{1}{\hat {A}}f_{1}+c_{2}{\hat {A}}f_{2}=c_{1}g_{1}+c_{2}g_{2}}
Pro libovolnou konečnou sumu se pak dá tvrzení dokázat matematickou indukcí.
Ještě jednodušeji vyjádřeno stačí ověřit, že platí tyto dvě vlastnosti:
1)
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
2)
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
Lineárním operátorem
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
x a y jsou funkce nebo posloupnosti. Limita je lineární operace a protože derivace je definována pomocí limit, je též lineárním operátorem. Integrál je inverzní operátor k derivaci, je tedy též lineárním operátorem.
Antilineární operátor Editovat Operátor označujeme jako antilineární , jestliže platí
A
^
∑
i
c
i
f
i
=
∑
i
c
i
∗
A
^
f
i
{\displaystyle {\hat {A}}\sum _{i}c_{i}f_{i}=\sum _{i}c_{i}^{*}{\hat {A}}f_{i}}
kde
f
i
{\displaystyle f_{i}}
c
i
∗
{\displaystyle c_{i}^{*}}
komplexně sdružené k
c
i
{\displaystyle c_{i}}
Operátor identity Editovat Důležitým operátorem je tzv. operátor identity (jednotkový operátor )
I
^
{\displaystyle {\hat {I}}}
I
^
f
=
f
{\displaystyle {\hat {I}}f=f}
Působením operátoru identity
I
^
{\displaystyle {\hat {I}}}
Totožné operátory Editovat Pokud pro dva operátory
A
^
,
B
^
{\displaystyle {\hat {A}},{\hat {B}}}
X do Y platí
A
^
f
=
B
^
f
{\displaystyle {\hat {A}}f={\hat {B}}f}
f
∈
X
{\displaystyle f\in \mathbf {X} }
totožné .
Operátor
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
spojitý v bodě
f
0
∈
X
{\displaystyle f_{0}\in \mathbf {X} }
posloupnost prvků
{
f
n
}
{\displaystyle \{f_{n}\}}
X
{\displaystyle \mathbf {X} }
X
{\displaystyle \mathbf {X} }
f
n
→
f
0
{\displaystyle f_{n}\to f_{0}}
A
^
f
n
→
A
^
f
0
{\displaystyle {\hat {A}}f_{n}\to {\hat {A}}f_{0}}
g
n
→
g
0
{\displaystyle g_{n}\to g_{0}}
Y
{\displaystyle \mathbf {Y} }
Lineární operátor, který je spojitý v nějakém bodě
f
1
∈
X
{\displaystyle f_{1}\in \mathbf {X} }
f
∈
X
{\displaystyle f\in \mathbf {X} }
Operátor
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
ohraničeným (omezeným) operátorem tehdy, jestliže existuje takové
μ
>
0
{\displaystyle \mu >0}
f ), že pro každé
f
∈
X
{\displaystyle f\in \mathbf {X} }
‖
A
^
f
‖
Y
≤
μ
‖
f
‖
X
{\displaystyle {\|{\hat {A}}f\|}_{\mathbf {Y} }\leq \mu {\|f\|}_{\mathbf {X} }}
kde
‖
f
‖
X
{\displaystyle {\|f\|}_{\mathbf {X} }}
norma funkce (vlastního řešení) f v prostoru X a
‖
A
^
f
‖
Y
{\displaystyle {\|{\hat {A}}f\|}_{\mathbf {Y} }}
A
^
f
{\displaystyle {\hat {A}}f}
Y .
Lineární operátor je spojitý právě když je omezený. Platí, že součin omezených operátorů představuje opět omezený operátor. Podobně platí, že součet omezených operátorů je opět omezeným operátorem.
Infimum čísel
μ
{\displaystyle \mu }
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
normu operátoru
‖
A
^
‖
{\displaystyle \|{\hat {A}}\|}
‖
A
^
‖
=
inf
μ
{\displaystyle \|{\hat {A}}\|=\inf \mu }
Normu lze také získat jako supremum množiny čísel
‖
A
^
f
‖
Y
{\displaystyle {\|{\hat {A}}f\|}_{\mathbf {Y} }}
f , tzn.
‖
A
^
‖
=
sup
‖
f
‖
X
=
1
,
f
∈
X
‖
A
^
f
‖
Y
{\displaystyle \|{\hat {A}}\|=\sup _{{\|f\|}_{\mathbf {X} }=1,f\in \mathbf {X} }{\|{\hat {A}}f\|}_{\mathbf {Y} }}
Symetrický, hermiteovský a sdružený operátor Editovat Operátor
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
symetrický , jestliže platí
⟨
f
|
A
^
g
⟩
=
⟨
A
^
f
|
g
⟩
{\displaystyle \langle f|{\hat {A}}g\rangle =\langle {\hat {A}}f|g\rangle }
kde bylo použito zápisu pomocí Diracovy symboliky běžně užívané v kvantové fyzice.
Omezený symetrický operátor označujeme jako hermiteovský .
Operátor
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
antihermiteovský , je-li operátor
i
A
^
{\displaystyle \mathrm {i} {\hat {A}}}
K operátoru
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
sdružený operátor
A
^
+
{\displaystyle {\hat {A}}^{+}}
⟨
f
|
A
^
+
g
⟩
=
⟨
A
^
f
|
g
⟩
{\displaystyle \langle f|{\hat {A}}^{+}g\rangle =\langle {\hat {A}}f|g\rangle }
neboli
⟨
f
|
A
^
+
g
⟩
=
⟨
g
|
A
^
f
⟩
∗
{\displaystyle \langle f|{\hat {A}}^{+}g\rangle ={\langle g|{\hat {A}}f\rangle }^{*}}
Platí vztahy
‖
A
^
+
‖
=
‖
A
^
‖
{\displaystyle \|{\hat {A}}^{+}\|=\|{\hat {A}}\|}
(
A
^
+
)
+
=
A
^
{\displaystyle {({\hat {A}}^{+})}^{+}={\hat {A}}}
(
A
^
+
B
^
)
+
=
A
^
+
+
B
^
+
{\displaystyle {({\hat {A}}+{\hat {B}})}^{+}={\hat {A}}^{+}+{\hat {B}}^{+}}
(
A
^
B
^
)
+
=
B
^
+
A
^
+
{\displaystyle {({\hat {A}}{\hat {B}})}^{+}={\hat {B}}^{+}{\hat {A}}^{+}}
(
λ
A
^
)
+
=
λ
∗
A
^
+
{\displaystyle {(\lambda {\hat {A}})}^{+}=\lambda ^{*}{\hat {A}}^{+}}
Operátor  se nazývá samosdružený , jestliže platí
A
^
+
=
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}^{+}={\hat {A}}}
Pro omezené operátory jsou pojmy samosdružený, hermiteovský a symetrický ekvivalentní.
Samosdružený operátor
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
pozitivní , když pro každé
|
u
⟩
{\displaystyle |u\rangle }
⟨
u
|
A
^
|
u
⟩
≥
0
{\displaystyle \langle u|{\hat {A}}|u\rangle \geq 0}
Operátor označujeme jako normální , když platí
[
A
^
,
A
^
+
]
=
0
{\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {A}}^{+}]=0}
kde
[
,
]
{\displaystyle [,]}
komutátor .
Inverzní operátor Editovat Operátor
A
^
−
1
{\displaystyle {\hat {A}}^{-1}}
inverzním operátorem k
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
A
^
A
^
−
1
=
A
^
−
1
A
^
=
I
^
{\displaystyle {\hat {A}}{\hat {A}}^{-1}={\hat {A}}^{-1}{\hat {A}}={\hat {I}}}
kde
I
^
{\displaystyle {\hat {I}}}
Platí vztahy (existují-li obě strany výrazů)
(
A
^
B
^
)
−
1
=
B
^
−
1
A
^
−
1
{\displaystyle {({\hat {A}}{\hat {B}})}^{-1}={\hat {B}}^{-1}{\hat {A}}^{-1}}
(
A
^
+
)
−
1
=
(
A
^
−
1
)
+
{\displaystyle {({\hat {A}}^{+})}^{-1}={({\hat {A}}^{-1})}^{+}}
Unitární operátor Editovat Operátor
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
unitární , pokud platí
A
^
+
=
A
^
−
1
{\displaystyle {\hat {A}}^{+}={\hat {A}}^{-1}}
neboli
A
^
+
A
^
=
A
^
A
^
+
=
I
^
{\displaystyle {\hat {A}}^{+}{\hat {A}}={\hat {A}}{\hat {A}}^{+}={\hat {I}}}
kde
I
^
{\displaystyle {\hat {I}}}
Pro libovolný unitární operátor
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
⟨
A
^
u
|
A
^
v
⟩
=
⟨
u
|
v
⟩
{\displaystyle \langle {\hat {A}}u|{\hat {A}}v\rangle =\langle u|v\rangle }
Jestliže operátor
M
^
{\displaystyle {\hat {M}}}
⟨
M
^
u
|
M
^
v
⟩
=
⟨
u
|
v
⟩
{\displaystyle \langle {\hat {M}}u|{\hat {M}}v\rangle =\langle u|v\rangle }
pak operátor
M
^
{\displaystyle {\hat {M}}}
izometrický . Izometrický operátor sice splňuje vztah
M
^
+
M
^
=
I
^
{\displaystyle {\hat {M}}^{+}{\hat {M}}={\hat {I}}}
M
^
M
^
+
≠
I
^
{\displaystyle {\hat {M}}{\hat {M}}^{+}\neq {\hat {I}}}
Projekční operátor Editovat Omezený operátor
E
^
{\displaystyle {\hat {E}}}
projekční , splňuje-li podmínky
E
^
=
E
^
+
=
E
^
2
{\displaystyle {\hat {E}}={\hat {E}}^{+}={\hat {E}}^{2}}
Je-li
E
^
{\displaystyle {\hat {E}}}
E
^
′
=
I
^
−
E
^
{\displaystyle {\hat {E}}^{\prime }={\hat {I}}-{\hat {E}}}
kde
I
^
{\displaystyle {\hat {I}}}
E
^
+
E
^
′
=
I
^
{\displaystyle {\hat {E}}+{\hat {E}}^{\prime }={\hat {I}}}
E
^
E
^
′
=
0
{\displaystyle {\hat {E}}{\hat {E}}^{\prime }=0}
Je-li
|
ψ
k
⟩
{\displaystyle |\psi _{k}\rangle }
podprostoru tvořeného všemi vektory lineárně závislými na
|
ψ
k
⟩
{\displaystyle |\psi _{k}\rangle }
E
^
k
=
|
ψ
k
⟩
⟨
ψ
k
|
{\displaystyle {\hat {E}}_{k}=|\psi _{k}\rangle \langle \psi _{k}|}
Jestliže množina vektorů
{
|
ψ
k
⟩
}
{\displaystyle \{|\psi _{k}\rangle \}}
bázi podprostoru
H
1
{\displaystyle H_{1}}
H
1
⊂
H
{\displaystyle H_{1}\subset H}
∑
k
E
^
k
=
∑
k
|
ψ
k
⟩
⟨
ψ
k
|
{\displaystyle \sum _{k}{\hat {E}}_{k}=\sum _{k}|\psi _{k}\rangle \langle \psi _{k}|}
Pokud je
H
1
=
H
{\displaystyle H_{1}=H}
∑
k
|
ψ
k
⟩
⟨
ψ
k
|
=
I
^
{\displaystyle \sum _{k}|\psi _{k}\rangle \langle \psi _{k}|={\hat {I}}}
Tento vztah představuje tzv. relaci úplnosti (uzavřenosti) .
Součtem dvou operátorů
A
^
,
B
^
{\displaystyle {\hat {A}},{\hat {B}}}
C
^
=
A
^
+
B
^
{\displaystyle {\hat {C}}={\hat {A}}+{\hat {B}}}
C
^
u
=
(
A
^
+
B
^
)
u
=
A
^
u
+
B
^
u
{\displaystyle {\hat {C}}u=({\hat {A}}+{\hat {B}})u={\hat {A}}u+{\hat {B}}u}
Operátor
C
^
{\displaystyle {\hat {C}}}
součin operátorů
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
B
^
{\displaystyle {\hat {B}}}
C
^
=
A
^
B
^
{\displaystyle {\hat {C}}={\hat {A}}{\hat {B}}}
u platí
C
^
u
=
A
^
(
B
^
u
)
{\displaystyle {\hat {C}}u={\hat {A}}({\hat {B}}u)}
Pomocí předchozího vztahu lze definovat mocninu operátoru, např.
A
^
2
=
A
^
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}^{2}={\hat {A}}{\hat {A}}}
Násobení operátorů není komutativní , tzn. v obecném případě pro dva operátory
A
^
,
B
^
{\displaystyle {\hat {A}},{\hat {B}}}
A
^
B
^
=
B
^
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}{\hat {B}}={\hat {B}}{\hat {A}}}
A
^
,
B
^
{\displaystyle {\hat {A}},{\hat {B}}}
komutátor operátorů
[
A
^
,
B
^
]
=
[
A
^
,
B
^
]
−
=
A
^
B
^
−
B
^
A
^
{\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]={[{\hat {A}},{\hat {B}}]}_{-}={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}}
Dva nekomutativní operátory
A
^
,
B
^
{\displaystyle {\hat {A}},{\hat {B}}}
u vztah
[
A
^
,
B
^
]
≠
0
{\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\neq 0}
Dva komutativní operátory
A
^
,
B
^
{\displaystyle {\hat {A}},{\hat {B}}}
u vztah
[
A
^
,
B
^
]
=
0
{\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]=0}
Jsou-li lineární hermiteovské operátory
A
^
,
B
^
{\displaystyle {\hat {A}},{\hat {B}}}
vlastní funkce .
Jestliže operátory
A
^
,
B
^
{\displaystyle {\hat {A}},{\hat {B}}}
[
A
^
,
B
^
]
=
0
{\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]=0}
f , g platí
[
f
(
A
^
)
,
g
(
B
^
)
]
=
0
{\displaystyle [f({\hat {A}}),g({\hat {B}})]=0}
Kromě komutátoru se zavádí také antikomutátor operátorů
{
A
^
,
B
^
}
=
[
A
^
,
B
^
]
+
=
A
^
B
^
+
B
^
A
^
{\displaystyle \{{\hat {A}},{\hat {B}}\}={[{\hat {A}},{\hat {B}}]}_{+}={\hat {A}}{\hat {B}}+{\hat {B}}{\hat {A}}}
Z definice komutátoru a antikomutátoru dostaneme následující vztahy:
[
A
^
,
B
^
]
=
−
[
B
^
,
A
^
]
{\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]=-[{\hat {B}},{\hat {A}}]}
[
A
^
,
B
^
+
C
^
]
=
[
A
^
,
B
^
]
+
[
A
^
,
C
^
]
{\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}+{\hat {C}}]=[{\hat {A}},{\hat {B}}]+[{\hat {A}},{\hat {C}}]}
[
A
^
,
B
^
C
^
]
=
[
A
^
,
B
^
]
C
^
+
B
^
[
A
^
,
C
^
]
=
{
A
^
,
B
^
}
C
^
−
B
^
{
A
^
,
C
^
}
{\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}{\hat {C}}]=[{\hat {A}},{\hat {B}}]{\hat {C}}+{\hat {B}}[{\hat {A}},{\hat {C}}]=\{{\hat {A}},{\hat {B}}\}{\hat {C}}-{\hat {B}}\{{\hat {A}},{\hat {C}}\}}
[
A
^
B
^
,
C
^
]
=
A
^
[
B
^
,
C
^
]
+
[
A
^
,
C
^
]
B
^
=
A
^
{
B
^
,
C
^
}
−
{
A
^
,
C
^
}
B
^
{\displaystyle [{\hat {A}}{\hat {B}},{\hat {C}}]={\hat {A}}[{\hat {B}},{\hat {C}}]+[{\hat {A}},{\hat {C}}]{\hat {B}}={\hat {A}}\{{\hat {B}},{\hat {C}}\}-\{{\hat {A}},{\hat {C}}\}{\hat {B}}}
{
A
^
,
B
^
}
=
{
B
^
,
A
^
}
{\displaystyle \{{\hat {A}},{\hat {B}}\}=\{{\hat {B}},{\hat {A}}\}}
{
A
^
,
B
^
+
C
^
}
=
{
A
^
,
B
^
}
+
{
A
^
,
C
^
}
{\displaystyle \{{\hat {A}},{\hat {B}}+{\hat {C}}\}=\{{\hat {A}},{\hat {B}}\}+\{{\hat {A}},{\hat {C}}\}}
{
A
^
,
B
^
C
^
}
=
{
A
^
,
B
^
}
C
^
−
B
^
[
A
^
,
C
^
]
=
B
^
{
C
^
,
A
^
}
−
[
B
^
,
A
^
]
C
^
{\displaystyle \{{\hat {A}},{\hat {B}}{\hat {C}}\}=\{{\hat {A}},{\hat {B}}\}{\hat {C}}-{\hat {B}}[{\hat {A}},{\hat {C}}]={\hat {B}}\{{\hat {C}},{\hat {A}}\}-[{\hat {B}},{\hat {A}}]{\hat {C}}}
{
A
^
B
^
,
C
^
}
=
A
^
{
B
^
,
C
^
}
−
[
A
^
,
C
^
]
B
^
=
{
C
^
,
A
^
}
B
^
−
A
^
[
C
^
,
B
^
]
{\displaystyle \{{\hat {A}}{\hat {B}},{\hat {C}}\}={\hat {A}}\{{\hat {B}},{\hat {C}}\}-[{\hat {A}},{\hat {C}}]{\hat {B}}=\{{\hat {C}},{\hat {A}}\}{\hat {B}}-{\hat {A}}[{\hat {C}},{\hat {B}}]}
Platí také tzv. Jacobiho identita
[
A
^
,
[
B
^
,
C
^
]
]
+
[
B
^
,
[
C
^
,
A
^
]
]
+
[
C
^
,
[
A
^
,
B
^
]
]
=
0
{\displaystyle [{\hat {A}},[{\hat {B}},{\hat {C}}]]+[{\hat {B}},[{\hat {C}},{\hat {A}}]]+[{\hat {C}},[{\hat {A}},{\hat {B}}]]=0}
![{\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {A}}^{+}]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f09d346fcd5063b0fa3460c4807ef2bf7af60940)
![{\displaystyle [,]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f04349be7aa458edb6f1ab423189a8455c6e21f7)
![{\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]={[{\hat {A}},{\hat {B}}]}_{-}={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7e1bc5dc4c49d02158a6a1db0cb57f294a4f77c)
![{\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ca6253a4b7d1fed6f0b83ee4f14d05f740af438)
![{\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac8a9b22bee144c8197821d7d68194115179a420)
![{\displaystyle [f({\hat {A}}),g({\hat {B}})]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/645bca558299aa1e42dd5fd8e9538aa8c97ac968)
![{\displaystyle \{{\hat {A}},{\hat {B}}\}={[{\hat {A}},{\hat {B}}]}_{+}={\hat {A}}{\hat {B}}+{\hat {B}}{\hat {A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ffd688f9dd61a510d6236a35fb74c51cca09e27)
![{\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]=-[{\hat {B}},{\hat {A}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71751561fdf8eb615f1a5edd7ed2e5acf65e913f)
![{\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}+{\hat {C}}]=[{\hat {A}},{\hat {B}}]+[{\hat {A}},{\hat {C}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be593418a3563883dd9e791e02042b8ea2226618)
![{\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}{\hat {C}}]=[{\hat {A}},{\hat {B}}]{\hat {C}}+{\hat {B}}[{\hat {A}},{\hat {C}}]=\{{\hat {A}},{\hat {B}}\}{\hat {C}}-{\hat {B}}\{{\hat {A}},{\hat {C}}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a973764231071e31296b34566c45a52ba00fa7b)
![{\displaystyle [{\hat {A}}{\hat {B}},{\hat {C}}]={\hat {A}}[{\hat {B}},{\hat {C}}]+[{\hat {A}},{\hat {C}}]{\hat {B}}={\hat {A}}\{{\hat {B}},{\hat {C}}\}-\{{\hat {A}},{\hat {C}}\}{\hat {B}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad2088de8a37cd4b08df1a53f8b424f901232799)
![{\displaystyle \{{\hat {A}},{\hat {B}}{\hat {C}}\}=\{{\hat {A}},{\hat {B}}\}{\hat {C}}-{\hat {B}}[{\hat {A}},{\hat {C}}]={\hat {B}}\{{\hat {C}},{\hat {A}}\}-[{\hat {B}},{\hat {A}}]{\hat {C}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49cc6d2daed02aa14652a7fb527139889e6caec6)
![{\displaystyle \{{\hat {A}}{\hat {B}},{\hat {C}}\}={\hat {A}}\{{\hat {B}},{\hat {C}}\}-[{\hat {A}},{\hat {C}}]{\hat {B}}=\{{\hat {C}},{\hat {A}}\}{\hat {B}}-{\hat {A}}[{\hat {C}},{\hat {B}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65e8445c9e7571ed2846afa50591034a8b3aa767)
![{\displaystyle [{\hat {A}},[{\hat {B}},{\hat {C}}]]+[{\hat {B}},[{\hat {C}},{\hat {A}}]]+[{\hat {C}},[{\hat {A}},{\hat {B}}]]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/814af30c9b10e8eabeae976e22d1d447654dfc99)
