Otevřít hlavní menu

Vlastní vektory a vlastní čísla

(přesměrováno z Vlastní číslo)

Jako vlastní vektor lineárního operátoru se označuje nenulový vektor, jenž se po transformaci tímto operátorem mění jen o násobek skaláru. Geometricky se tato změna projeví zvětšením/zmenšením vektoru bez změny směru s výjimkou obrácení směru vektoru při násobení záporným skalárem. Koeficient, kterým se při této transformaci násobí velikost vlastního vektoru, se nazývá vlastní číslo (nebo vlastní hodnota nebo charakteristické číslo) přidružené či příslušné tomuto vlastnímu vektoru. Množina vlastních vektorů, které náleží stejnému vlastnímu číslu, se nazývá vlastní prostor operátoru přidružený k danému vlastnímu číslu.

Vlastní vektor může mít v konkrétních aplikacích i jiná označení, je například zvykem říkat vlastní řešení (pokud je vektor řešením nějaké rovnice), vlastní funkce (pokud jde o funkci), vlastní stav (pokud vektor popisuje kvantový stav) apod.

Vlastní čísla a vlastní vektory hrají důležitou roli nejen v lineární algebře, ale i funkcionální analýze, kybernetice nebo v kvantové fyzice.

Obsah

Definice a značeníEditovat

Vlastní vektor lineárního operátoru   je takový nenulový vektor u, pro který existuje číslo   tak, že platí:

 .

Číslo   se nazývá vlastní číslo (též charakteristické číslo) operátoru   a   vlastní vektor operátoru   příslušný vlastní hodnotě  .

V kvantové mechanice se často lze setkat se zápisem   anebo   kde   označuje operátor a A příslušné vlastní číslo. Operátor   je často diferenciální operátor na nějakém prostoru funkcí nebo distribucí.

Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů maticeEditovat

Nechť   je zadaná reálná nebo komplexní čtvercová matice  ,   je sloupcový vektor délky   a   je reálné nebo komplexní číslo. Rovnice  , jejíž levou stranu chápeme jako násobení matice vektorem a pravou stranu jako násobení skaláru vektorem, obsahuje známou matici   a neznámé veličiny   a  . Tato maticová rovnice se dá přepsat jako soustava lineárních rovnic

 

pro  .

Proměnnou   na pravé straně lze pomocí Kroneckerova delta vyjádřit jako

 

Dosazením do předchozího vztahu pak dostaneme

 ,

což lze vyjádřit maticově jako

 ,

kde   je jednotková matice. Na tento vztah lze nahlížet jako na homogenní soustavu lineárních algebraických rovnic o   neznámých. Ta má netriviální (nenulové) řešení právě tehdy, když je matice soustavy singulární, tzn. platí

 ,

což lze rozepsat

 .

Tato rovnice se nazývá charakteristická rovnice. Rovnice podobného typu bývají také označovány jako sekulární rovnice, protože dříve sloužily k výpočtům pohybů planet (jejich odchylek od eliptických drah).

Polynom na levé straně této rovnice se nazývá charakteristický polynom matice   a jeho kořeny jsou vlastními čísly matice  . Proto má matice   vždy   vlastních čísel, z nichž se některá mohou opakovat. Počet opakování, tj. násobnost kořene charakteristického polynomu nazýváme algebraickou násobností vlastního čísla.

Vlastní vektory matice   vyhovují rovnici   pro jednotlivá vlastní čísla.

Libovolný nenulový násobek vlastního vektoru je rovněž vlastním vektorem, není však považován za jiný vlastní vektor. Ke kořenu charakteristického polynomu násobnosti   existuje nejvýše   vzájemně lineárně nezávislých vlastních vektorů. Počet lineárně nezávislých vlastních vektorů odpovídajících vlastnímu číslu  , tj.   se nazývá geometrická násobnost vlastního čísla.

Vztah mezi algebraickou a geometrickou násobností lze snadno nahlédnout pomocí Jordanova rozkladu matice.

PříkladEditovat

Určete vlastní čísla a vlastní vektory matice

 

Charakteristická rovnice má tvar

 .

Po jejím rozepsání (tedy jednoduše vyčíslíme determinant a položíme jej roven nule) dostaneme kvadratickou rovnici

 

Řešením této rovnice získáme vlastní čísla

 

Vlastní vektor   příslušný vlastní hodnotě   získáme řešením soustavy lineárních rovnic

 

Řešením této rovnice je např. vektor

 

Vlastní vektor   příslušný vlastní hodnotě   získáme řešením soustavy lineárních rovnic

 

Řešením této rovnice je např. vektor

 

VlastnostiEditovat

  • Nula je vlastním číslem matice   právě tehdy, když je matice singulární. Je-li matice   regulární, pak nula není jejím vlastním číslem.
  • Je-li matice   symetrická a reálná (tj. obsahuje pouze reálná čísla), pak všechna její vlastní čísla jsou reálná.
  • Jestliže k matici   existuje inverzní matice  , pak   je vlastním číslem matice   tehdy, je-li   vlastním číslem matice  . Přitom platí, že vlastní vektory matice   odpovídající vlastnímu číslu   jsou stejné jako vlastní vektory matice   odpovídající vlastnímu číslu  .
  • Pokud má matice   vlastní číslo   a odpovídající vlastní vektor  , pak matice   má vlastní číslo   a jemu odpovídající vlastní vektor je  .
  • Je-li vlastním číslem reálné matice   komplexní číslo  , pak je také komplexně sdružené číslo   vlastním číslem matice  .
  • Je-li lineární operátor   hermitovský, jsou všechna vlastní čísla reálná.

Spektrum operátoruEditovat

Jako spektrum omezeného lineárního operátoru   se označuje množina komplexních čísel  , pro které není operátor   invertovatelný. Množina všech vlastních čísel tvoří část spektra operátoru. Tato část se nazývá bodové (diskrétní) spektrum. V případě konečnorozměrných operátorů (čtverdcových matic konečných rozměrů) je celé spektrum bodové. U nekonečněrozměrných operátorů mohou existovat i další části spektra, které nejsou bodové.

Pokud ke každému vlastnímu číslu   přísluší právě jedna vlastní funkce  , pak říkáme, že operátor má prosté (nedegenerované) spektrum.

Pokud některým vlastním číslům   přísluší několik lineárně nezávislých vlastní funkcí  , tzn.

 ,

kde  , pak hovoříme o degenerovaném spektru. Počet lineárně nezávislých funkcí   se nazývá násobností (stupněm) degenerace.

Související článkyEditovat