Inverzní matice

konstrukce lineární algebry

Inverzní matice k dané regulární matici je taková matice, která po vynásobení s původní maticí dá jednotkovou matici. Výpočet inverzní matice je důležitý při řešení řady úloh z lineární algebry, statistiky a dalších oborů užité matematiky.

ZnačeníEditovat

Inverzní matici k matici A značíme A-1.

VlastnostiEditovat

Vynásobením regulární matice s její inverzí dostáváme jednotkovou matici.

 

kde 1 je jednotková matice.

Inverzní matici lze sestrojit pouze pro regulární matici – čtvercovou matici jejíž determinant není roven nule.

Pro obdélníkovou matici můžeme sestrojit tzv. pseudoinverzi matice.

Výpočet inverzní maticeEditovat

Základní metodou výpočtu inverzní matice je Gauss-Jordanova eliminační metoda. Postup:

  1. Vedle sebe napíšeme matici, kterou chceme invertovat, a jednotkovou matici.
  2. Matici upravujeme na jednotkovou matici standardními způsoby:
    • záměna řádků
    • vynásobení řádku skalárem (nejčastěji přirozeným číslem)
    • přičtení násobku jednoho řádku k jinému
  3. Každý úkon prováděný na upravované matici musíme provést i na jednotkové matici.
  4. Zkoušku provedeme vynásobením matice s její inverzí.

Pro zvýšení numerické přesnosti se při faktických výpočtech na samočinných počítačích provádí obvykle navíc pivotace prvků.

PříkladEditovat

V tomto příkladě se inverzní matice hledá Gauss-Jordanovou eliminační metodou. Nejprve se matice nalevo převede na trojúhelníkovou, ve které budou všechny prvky pod diagonálou nulové. Následně se tato matice převede na jednotkovou. Současně s maticí nalevo se provádějí všechny operace i s maticí napravo. Tento postup je zcela obecný a pokud je matice regulární, vždy vede přímo k cíli.

Vlevo zadaná matice, vpravo matice jednotková:

 

Nejprve postupujeme shora dolů. První řádek necháme, od druhého řádku odečteme (jednonásobek) první a od třetího odečteme také (jednonásobek) první. Druhý a třetí řádek vynásobíme s (-1), což je povoleno.

 

První a druhý řádek necháme, od třetího odečteme polovinu druhého.

 

Nyní pro jednoduchost dalších operací vynásobíme řádky převrácenými hodnotami jejich prvků na diagonále. První řádek necháme (vynásobíme jedničkou), druhý vynásobíme   a třetí -1.

 

Získali jsme trojúhelníkovou matici s jedničkami na diagonále. V dalších krocích převedeme matici tak, aby i prvky nad diagonálou byly nulové. Postupujeme zdola nahoru. Poslední řádek necháme, od druhého řádku odečteme dvojnásobek třetího a od prvního řádku odečteme pětinásobek třetího.

 

V posledním kroku odečteme od prvního řádku trojnásobek druhého.

 

Výpočet prvků inverzní matice přímoEditovat

Existuje ještě jiný způsob výpočtu inverzní matice - pomocí determinantů a subdeterminantů. Matice   má prvky   kde   je řádek a   je sloupec pak  , kde   je subdeterminant získaný z matice   vynecháním  -tého řádku a  -tého sloupce,   je determinant matice  .

Tento postup je pouze rozložením výpočtu inverzní matice pomocí adjungované matice do jednotlivých kroků.

Řešení soustavy lineárních algebraických rovnicEditovat

Inverzní matici lze využít k nalezení řešení soustavy lineárních algebraických rovnic.

Je-li matice   soustavy rovnic čtvercová (tedy  ) a regulární, pak lze řešení   soustavy rovnic

 

získat pomocí matice  , která je inverzní k matici  , neboť platí že

 

Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat