Cramerovo pravidlo

Cramerovo pravidlo je algoritmus umožňující nalezení řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Roku 1750 ho uveřejnil Gabriel Cramer, už předtím však toto pravidlo nalezl Leibniz.

PostupEditovat

Mějme soustavu lineárních rovnic, která obsahuje stejně neznámých jako rovnic. Označme matici soustavy   (je typu  ). Dále označme   jako matici, kterou získáme z matice  , nahradíme-li v ní  -tý sloupec sloupcem pravých stran soustavy rovnic.

Pokud zapíšeme matice soustavy a vektor pravých stran jako

 
 ,

pak má   tvar

 


Pokud je determinant matice soustavy nenulový,  , tzn. matice   je regulární, pak má soustava právě jedno řešení, pro které platí

 

pro  . Čísla    spolu tvoří jedno řešení.

PříkladEditovat

Úkolem je řešit soustavu rovnic

 
 

Determinant matice soustavy je

 

Poněvadž je  , lze použít Cramerovo pravidlo.

Dále určíme

 
 

Řešení má tedy tvar

 
 

Zkouškou se přesvědčíme, že se skutečně jedná o řešení uvedené soustavy.

DůkazEditovat

 

Jestliže matici získanou vynecháním j-tého řádku a i-tého sloupce matice   označíme  , pak rozvinutím determinantu v čitateli podle i-tého sloupce získáme

 

Zlomek ve výrazu je prvkem   inverzní matice  .

 

Protože   a  , je   a tedy

 


Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat