Mějme soustavu lineárních rovnic , která obsahuje stejně neznámých jako rovnic. Označme matici soustavy
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
(je typu
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
). Dále označme
A
i
{\displaystyle \mathbf {A} _{i}}
jako matici , kterou získáme z matice
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
, nahradíme-li v ní
i
{\displaystyle i}
-tý sloupec sloupcem pravých stran soustavy rovnic.
Pokud zapíšeme matice soustavy a vektor pravých stran jako
A
=
(
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a
21
a
22
⋯
a
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
a
n
1
a
n
2
⋯
a
n
n
)
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}}}
B
=
(
b
1
b
2
⋮
b
n
)
{\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}}
,pak má
A
i
{\displaystyle \mathbf {A} _{i}}
tvar
A
i
=
(
a
11
a
12
⋯
a
1
,
i
−
1
b
1
a
1
,
i
+
1
⋯
a
1
n
a
21
a
22
⋯
a
2
,
i
−
1
b
2
a
2
,
i
+
1
⋯
a
2
n
⋮
⋮
⋱
⋯
⋯
⋯
⋱
⋮
a
n
1
a
n
2
⋯
a
n
,
i
−
1
b
n
a
n
,
i
+
1
⋯
a
n
n
)
{\displaystyle \mathbf {A} _{i}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1,i-1}&b_{1}&a_{1,i+1}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2,i-1}&b_{2}&a_{2,i+1}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\cdots &\cdots &\cdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{n,i-1}&b_{n}&a_{n,i+1}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}}}
Pokud je determinant matice soustavy nenulový,
det
A
≠
0
{\displaystyle \det \mathbf {A} \neq 0}
, tzn. matice
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
je regulární , pak má soustava právě jedno řešení, pro které platí
x
i
=
det
A
i
det
A
{\displaystyle x_{i}={\frac {\det \mathbf {A} _{i}}{\det \mathbf {A} }}}
pro
i
=
1
,
2
,
.
.
.
,
n
{\displaystyle i=1,2,...,n}
. Čísla
x
1
{\displaystyle x_{1}}
až
x
n
{\displaystyle x_{n}}
spolu tvoří jedno řešení.[1]
det
A
i
det
A
=
1
det
A
|
a
1
,
1
⋯
a
1
,
i
−
1
b
1
a
1
,
i
+
1
⋯
a
1
,
n
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
a
j
−
1
,
1
⋯
a
j
−
1
,
i
−
1
b
j
−
1
a
j
−
1
,
i
+
1
⋯
a
j
−
1
,
n
a
j
,
1
⋯
a
j
,
i
−
1
b
j
a
j
,
i
+
1
⋯
a
j
,
n
a
j
+
1
,
1
⋯
a
j
+
1
,
i
−
1
b
j
+
1
a
j
+
1
,
i
+
1
⋯
a
j
+
1
,
n
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
a
n
,
1
⋯
a
n
,
i
−
1
b
n
a
n
,
i
+
1
⋯
a
n
,
n
|
=
∑
j
=
1
n
b
j
det
A
|
a
1
,
1
⋯
a
1
,
i
−
1
0
a
1
,
i
+
1
⋯
a
1
,
n
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
a
j
−
1
,
1
⋯
a
j
−
1
,
i
−
1
0
a
j
−
1
,
i
+
1
⋯
a
j
−
1
,
n
a
j
,
1
⋯
a
j
,
i
−
1
1
a
j
,
i
+
1
⋯
a
j
,
n
a
j
+
1
,
1
⋯
a
j
+
1
,
i
−
1
0
a
j
+
1
,
i
+
1
⋯
a
j
+
1
,
n
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
a
n
,
1
⋯
a
n
,
i
−
1
0
a
n
,
i
+
1
⋯
a
n
,
n
|
{\displaystyle {\frac {\det \mathbf {A} _{i}}{\det \mathbf {A} }}={\frac {1}{\det \mathbf {A} }}{\begin{vmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,i-1}&b_{1}&a_{1,i+1}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{j-1,1}&\cdots &a_{j-1,i-1}&b_{j-1}&a_{j-1,i+1}&\cdots &a_{j-1,n}\\a_{j,1}&\cdots &a_{j,i-1}&b_{j}&a_{j,i+1}&\cdots &a_{j,n}\\a_{j+1,1}&\cdots &a_{j+1,i-1}&b_{j+1}&a_{j+1,i+1}&\cdots &a_{j+1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&\cdots &a_{n,i-1}&b_{n}&a_{n,i+1}&\cdots &a_{n,n}\\\end{vmatrix}}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {b_{j}}{\det \mathbf {A} }}{\begin{vmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,i-1}&0&a_{1,i+1}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{j-1,1}&\cdots &a_{j-1,i-1}&0&a_{j-1,i+1}&\cdots &a_{j-1,n}\\a_{j,1}&\cdots &a_{j,i-1}&1&a_{j,i+1}&\cdots &a_{j,n}\\a_{j+1,1}&\cdots &a_{j+1,i-1}&0&a_{j+1,i+1}&\cdots &a_{j+1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&\cdots &a_{n,i-1}&0&a_{n,i+1}&\cdots &a_{n,n}\\\end{vmatrix}}}
Jestliže matici získanou vynecháním j-tého řádku a i-tého sloupce matice
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
označíme
A
j
i
{\displaystyle \mathbf {A} _{ji}}
, pak rozvinutím determinantu v čitateli podle i-tého sloupce získáme
det
A
i
det
A
=
∑
j
=
1
n
b
j
(
−
1
)
i
+
j
det
A
j
i
det
A
{\displaystyle {\frac {\det \mathbf {A} _{i}}{\det \mathbf {A} }}=\sum _{j=1}^{n}b_{j}{\frac {(-1)^{i+j}\det \mathbf {A} _{ji}}{\det \mathbf {A} }}}
Zlomek ve výrazu je prvkem
(
A
−
1
)
i
,
j
{\displaystyle (\mathbf {A} ^{-1})_{i,j}}
inverzní matice
A
−
1
{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}}
.
det
A
i
det
A
=
∑
j
=
1
n
(
A
−
1
)
i
,
j
b
j
=
(
A
−
1
b
)
i
{\displaystyle {\frac {\det \mathbf {A} _{i}}{\det \mathbf {A} }}=\sum _{j=1}^{n}(\mathbf {A} ^{-1})_{i,j}b_{j}=(\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {b} )_{i}}
Protože
A
x
=
b
{\displaystyle \mathbf {Ax} =\mathbf {b} }
a
det
A
≠
0
{\displaystyle \det \mathbf {A} \neq 0}
, je
x
=
A
−
1
b
{\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {b} }
a tedy
x
i
=
det
A
i
det
A
{\displaystyle x_{i}={\frac {\det \mathbf {A} _{i}}{\det \mathbf {A} }}}