Matice soustavy
Matice soustavy, [1] též matice koeficientů, je v lineární algebře matice vytvořená z koeficientů neznámých proměnných soustavy lineárních rovnic. Matice se používá pro určení množiny řešení soustavy.
Definice
editovatSoustavu lineárních rovnic o neznámých lze obecně zapsat ve tvaru
kde jsou neznámé a čísla jsou koeficienty soustavy. Matice soustavy je matice typu , jejíž prvky na souřadnicích a jsou koeficienty :
Soustavu rovnic pak lze vyjádřit stručněji jedinou rovnicí
- ,
kde je matice soustavy a je sloupcový vektor pravých stran, též nazývaný vektor konstantních členů.
Rozšířená matice soustavy
editovatRozšířená matice soustavy je přepis soustavy lineárních rovnic o neznámých
do rozšířené matice, kde k matici soustavy je přidán vektor pravých stran.
Hodnost matice
editovatPodle Frobeniovy věty nemá soustava rovnic žádné řešení, pokud hodnost rozšířené matice soustavy je větší než hodnost matice soustavy. Jsou-li naopak hodnosti obou matic stejné, má soustava alespoň jedno řešení. Řešení je jednoznačné, právě když hodnost je rovna počtu proměnných . Je-li proměnných více, pak lze volným proměnným přiřadit libovolnou hodnotu a dopočítat řešení. Odlišné volby hodnot volných proměnných vedou k odlišným řešením soustavy.
Dynamické rovnice
editovatMaticová diferenční rovnice prvního řádu s konstantním členem má tvar
kde je čtvercová matice řádu a a jsou -složkové vektory. Tato soustava konverguje k rovnovážnému stavu , právě když absolutní hodnoty všech vlastních čísel matice jsou menší než 1.
Maticová diferenciální rovnice prvního řádu s konstantním členem má tvar
- .
Tato soustava je stabilní, právě když všech vlastních čísel matice má záporné reálné části.
Odkazy
editovatReference
editovatV tomto článku byl použit překlad textu z článku Coefficient matrix na anglické Wikipedii.
- ↑ BÄRTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. Kapitola Matice, s. 196.
Literatura
editovat- BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1.
- HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5.
- OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online.