Matice soustavy

(přesměrováno z Matice koeficientů)

Matice soustavy, [1] též matice koeficientů, je v lineární algebře matice vytvořená z koeficientů neznámých proměnných soustavy lineárních rovnic. Matice se používá pro určení množiny řešení soustavy.

Definice

editovat

Soustavu   lineárních rovnic o   neznámých lze obecně zapsat ve tvaru

 

kde   jsou neznámé a čísla   jsou koeficienty soustavy. Matice soustavy je matice typu  , jejíž prvky na souřadnicích   a   jsou koeficienty  :

 

Soustavu rovnic pak lze vyjádřit stručněji jedinou rovnicí

 ,

kde   je matice soustavy a   je sloupcový vektor pravých stran, též nazývaný vektor konstantních členů.

Rozšířená matice soustavy

editovat

Rozšířená matice soustavy je přepis soustavy   lineárních rovnic o   neznámých

 

do rozšířené matice, kde k matici soustavy je přidán vektor pravých stran.

 

Hodnost matice

editovat
Podrobnější informace naleznete v článku Frobeniova věta.

Podle Frobeniovy věty nemá soustava rovnic žádné řešení, pokud hodnost   rozšířené matice soustavy je větší než hodnost matice soustavy. Jsou-li naopak hodnosti obou matic stejné, má soustava alespoň jedno řešení. Řešení je jednoznačné, právě když hodnost   je rovna počtu proměnných  . Je-li proměnných více, pak lze   volným proměnným přiřadit libovolnou hodnotu a dopočítat řešení. Odlišné volby hodnot volných proměnných vedou k odlišným řešením soustavy.

Dynamické rovnice

editovat

Maticová diferenční rovnice prvního řádu s konstantním členem má tvar

 

kde   je čtvercová matice řádu   a   a   jsou  -složkové vektory. Tato soustava konverguje k rovnovážnému stavu  , právě když absolutní hodnoty všech   vlastních čísel matice   jsou menší než 1.

Maticová diferenciální rovnice prvního řádu s konstantním členem má tvar

 .

Tato soustava je stabilní, právě když všech   vlastních čísel matice   má záporné reálné části.

Reference

editovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Coefficient matrix na anglické Wikipedii.

  1. BÄRTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. Kapitola Matice, s. 196. 

Literatura

editovat
  • BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1. 
  • HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. 
  • OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 

Související články

editovat