Mějme čtvercovou matici
A
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}}
s prvky
a
i
j
{\displaystyle a_{ij}}
z tělesa
T
{\displaystyle T}
(např. z tělesa reálných čísel ) nebo i obecněji z komutativního kruhu . Označíme-li
a
~
i
j
{\displaystyle {\tilde {a}}_{ij}}
algebraický doplněk příslušný k prvku
a
i
j
{\displaystyle a_{ij}}
, pak adjungovaná matice
adj
A
{\displaystyle \operatorname {adj} {\boldsymbol {A}}}
je tvořena prvky:
(
adj
A
)
i
j
=
a
~
j
i
=
(
−
1
)
j
+
i
det
A
j
i
=
(
−
1
)
i
+
j
⋅
|
a
1
,
1
⋯
a
1
,
j
−
1
a
1
,
j
+
1
⋯
a
1
,
n
⋮
⋱
⋮
⋮
⋱
⋮
a
i
−
1
,
1
⋯
a
i
−
1
,
j
−
1
a
i
−
1
,
j
+
1
⋯
a
i
−
1
,
n
a
i
+
1
,
1
⋯
a
i
+
1
,
j
−
1
a
i
+
1
,
j
+
1
⋯
a
i
+
1
,
n
⋮
⋱
⋮
⋮
⋱
⋮
a
n
,
1
⋯
a
n
,
j
−
1
a
n
,
j
+
1
⋯
a
n
,
n
|
,
{\displaystyle (\operatorname {adj} {\boldsymbol {A}})_{ij}={\tilde {a}}_{ji}=(-1)^{j+i}\det {\boldsymbol {A}}_{ji}=(-1)^{i+j}\cdot {\begin{vmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,j-1}&a_{1,j+1}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i-1,1}&\cdots &a_{i-1,j-1}&a_{i-1,j+1}&\cdots &a_{i-1,n}\\a_{i+1,1}&\cdots &a_{i+1,j-1}&a_{i+1,j+1}&\cdots &a_{i+1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&\cdots &a_{n,j-1}&a_{n,j+1}&\cdots &a_{n,n}\end{vmatrix}},}
neboli
a
d
j
A
=
(
a
~
11
a
~
21
⋯
a
~
n
1
a
~
12
a
~
22
⋯
a
~
n
2
⋮
⋮
⋱
⋮
a
~
1
n
a
~
2
n
⋯
a
~
n
n
)
=
(
+
det
A
11
−
det
A
21
⋯
(
−
1
)
n
+
1
det
A
n
1
−
det
A
12
+
det
A
22
⋯
(
−
1
)
n
+
2
det
A
n
2
⋮
⋮
⋱
⋮
(
−
1
)
1
+
n
det
A
1
n
(
−
1
)
2
+
n
det
A
2
n
⋯
(
−
1
)
n
+
n
det
A
n
n
)
,
{\displaystyle \mathrm {adj} \;{\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}{\tilde {a}}_{11}&{\tilde {a}}_{21}&\cdots &{\tilde {a}}_{n1}\\{\tilde {a}}_{12}&{\tilde {a}}_{22}&\cdots &{\tilde {a}}_{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\tilde {a}}_{1n}&{\tilde {a}}_{2n}&\cdots &{\tilde {a}}_{nn}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}+\det {\boldsymbol {\boldsymbol {A}}}_{11}&-\det {\boldsymbol {A}}_{21}&\cdots &(-1)^{n+1}\det {\boldsymbol {A}}_{n1}\\-\det {\boldsymbol {A}}_{12}&+\det {\boldsymbol {A}}_{22}&\cdots &(-1)^{n+2}\det {\boldsymbol {A}}_{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\(-1)^{1+n}\det {\boldsymbol {A}}_{1n}&(-1)^{2+n}\det {\boldsymbol {A}}_{2n}&\cdots &(-1)^{n+n}\det {\boldsymbol {A}}_{nn}\end{pmatrix}},}
kde
A
j
i
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}_{ji}}
je matice, která vznikne z matice
A
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}}
vynecháním
j
{\displaystyle j}
-tého řádku a
i
{\displaystyle i}
-tého sloupce.
Je-li matice
A
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}}
regulární, potom sloupce inverzní matice
A
−
1
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{-1}}
jsou řešením soustav rovnic
A
x
=
e
j
{\displaystyle {\boldsymbol {Ax}}=\mathbf {e} _{j}}
, kde na pravé straně je
j
{\displaystyle j}
-tý vektor přirozené báze . Z Cramerova pravidla pak vyplývá vztah:
A
−
1
=
1
det
A
⋅
adj
A
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{-1}={\frac {1}{\det {\boldsymbol {A}}}}\cdot \operatorname {adj} {\boldsymbol {A}}}
Ekvivalentní vztah:
A
⋅
adj
A
=
det
A
⋅
I
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}\cdot \operatorname {adj} {\boldsymbol {A}}=\det {\boldsymbol {A}}\cdot \mathbf {I} }
lze odvodit i z Laplaceova rozvoje determinantu.
Regulární matici řádu 2 lze pak invertovat podle vzorce:
A
−
1
=
1
det
A
⋅
adj
A
=
1
a
d
−
b
c
(
d
−
b
−
c
a
)
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{-1}={\frac {1}{\det {\boldsymbol {A}}}}\cdot \operatorname {adj} {\boldsymbol {A}}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}}
Následující vztahy platí pro všechny čtvercové matice řádu
n
{\displaystyle n}
nad tělesem
T
{\displaystyle T}
:
adj
I
=
I
{\displaystyle \operatorname {adj} \mathbf {I} =\mathbf {I} }
, kde
I
{\displaystyle \mathbf {I} }
je jednotková matice .
adj
0
=
0
{\displaystyle \operatorname {adj} \mathbf {0} =\mathbf {0} }
, kde
0
{\displaystyle \mathbf {0} }
je nulová matice řádu
n
>
1
{\displaystyle n>1}
. Pro nulovou matici řádu 1 však platí:
adj
0
=
I
1
=
(
1
)
{\displaystyle \operatorname {adj} \mathbf {0} =\mathbf {I} _{1}=(1)}
.
adj
(
A
B
)
=
adj
B
⋅
adj
A
{\displaystyle \operatorname {adj} ({\boldsymbol {AB}})=\operatorname {adj} {\boldsymbol {B}}\cdot \operatorname {adj} {\boldsymbol {A}}}
adj
(
A
k
)
=
(
adj
A
)
k
{\displaystyle \operatorname {adj} ({\boldsymbol {A^{k}}})=(\operatorname {adj} {\boldsymbol {A}})^{k}}
pro libovolné
k
∈
N
{\displaystyle k\in \mathbb {N} }
.
adj
(
A
T
)
=
(
adj
A
)
T
{\displaystyle \operatorname {adj} ({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} })=(\operatorname {adj} {\boldsymbol {A}})^{\mathrm {T} }}
A
⋅
adj
A
=
adj
A
⋅
A
=
det
A
⋅
I
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}\cdot \operatorname {adj} {\boldsymbol {A}}=\operatorname {adj} {\boldsymbol {A}}\cdot {\boldsymbol {A}}=\det {\boldsymbol {A}}\cdot \mathbf {I} }
adj
(
t
A
)
=
t
n
−
1
adj
A
{\displaystyle \operatorname {adj} (t{\boldsymbol {A}})=t^{n-1}\operatorname {adj} {\boldsymbol {A}}}
pro libovolné
t
∈
T
{\displaystyle t\in T}
.
det
(
adj
A
)
=
(
det
A
)
n
−
1
{\displaystyle \det(\operatorname {adj} {\boldsymbol {A}})=(\det {\boldsymbol {A}})^{n-1}}
adj
(
adj
A
)
=
(
det
A
)
n
−
2
A
{\displaystyle \operatorname {adj} (\operatorname {adj} {\boldsymbol {A}})=(\det {\boldsymbol {A}})^{n-2}{\boldsymbol {A}}}
pro
n
≥
2
{\displaystyle n\geq 2}
, přičemž pro matice řádu 2 jmenovitě platí:
adj
(
adj
A
)
=
A
{\displaystyle \operatorname {adj} (\operatorname {adj} {\boldsymbol {A}})={\boldsymbol {A}}}
.
Pokud matice
A
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}}
náleží některé z následujících tříd matic, pak matice k ní adjungovaná
adj
A
{\displaystyle \operatorname {adj} {\boldsymbol {A}}}
patří do téže třídy:
Pokud je
A
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}}
antisymetrická matice , pak
adj
A
{\displaystyle \operatorname {adj} {\boldsymbol {A}}}
je antisymetrická pro sudá
n
{\displaystyle n}
a symetrická pro lichá
n
{\displaystyle n}
.
Je-li
A
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}}
regulární, pak
adj
A
{\displaystyle \operatorname {adj} {\boldsymbol {A}}}
lze vyjádřit pomocí determinantu a inverzní matice, jak bylo zmíněno výše.
Pro adjungované matice k singulárním čtvercovým maticím řádu alespoň 2 platí následující vztahy:
Je-li
rank
(
A
)
≤
n
−
2
{\displaystyle \operatorname {rank} ({\boldsymbol {A}})\leq n-2}
, pak
adj
A
=
0
{\displaystyle \operatorname {adj} {\boldsymbol {A}}=\mathbf {0} }
, kde
0
{\displaystyle \mathbf {0} }
je nulová matice řádu
n
{\displaystyle n}
.
Je-li
rank
(
A
)
=
n
−
1
{\displaystyle \operatorname {rank} ({\boldsymbol {A}})=n-1}
, pak
rank
(
adj
A
)
=
1
{\displaystyle \operatorname {rank} (\operatorname {adj} {\boldsymbol {A}})=1}
. V tomto případě je některý ze subdeterminantů nenulový, takže
adj
A
{\displaystyle \operatorname {adj} {\boldsymbol {A}}}
je nenulová, a proto má hodnost alespoň jedna. Rovnost
adj
A
⋅
A
=
0
{\displaystyle \operatorname {adj} {\boldsymbol {A}}\cdot {\boldsymbol {A}}=\mathbf {0} }
znamená, že dimenze nulového prostoru adjungované matice
adj
A
{\displaystyle \operatorname {adj} {\boldsymbol {A}}}
je alespoň
n
−
1
{\displaystyle n-1}
, takže její hodnost je nejvýše jedna. Adjungovanou matici lze v tomto případě vyjádřit také jako
adj
A
=
t
x
y
T
{\displaystyle \operatorname {adj} {\boldsymbol {A}}=t{\boldsymbol {xy}}^{\mathrm {T} }}
, kde
x
{\displaystyle {\boldsymbol {x}}}
a
y
{\displaystyle {\boldsymbol {y}}}
jsou libovolná nenulová řešení homogenních soustav
A
x
=
0
{\displaystyle {\boldsymbol {Ax}}=\mathbf {0} }
a
A
T
y
=
0
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {y}}=\mathbf {0} }
, a
t
{\displaystyle t}
je následně dopočítaný skalár .
V tomto článku byly použity překlady textů z článků Adjugate matrix na anglické Wikipedii a Adjunkte na německé Wikipedii.
BÄRTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce . Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9 . Kapitola Matice, s. 180–198.
BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra . 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1 .
HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky . 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5 . S. 39.
OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online .