Antisymetrická matice

Antisymetrická matice je v matematice, zvlášť v lineární algebře, čtvercová matice, jejíž transpozice se rovná záporně vzaté té samé matici, tedy platí $A^{T}=-A$ .

V zápisu pomocí elementů matice, kde $A_{ij}$ značí element v $i$ -tém řádku a $j$ -tém sloupci, má podmínka tvar $A_{ij}=-A_{ji}$ .

Například následující matice je antisymetrická:

$A={\begin{pmatrix}0&2&-1\\-2&0&-4\\1&4&0\end{pmatrix}}$

Vlastnosti editovat

V tomto odstavci předpokládáme, že všechny elementy matice jsou prvky pole $\mathbb {F}$ které ma charakteristiku odlišnou od 2, tedy předpokládáme $1+1\neq 0$ , kde 1 je multiplikativní a 0 aditivní identita v daném poli. Pokud je charakteristika pole rovna 2, potom je antisymetrická matice stejný objekt, jako symetrická matice.

Součet dvou antisymetrických matic je antisymetrická matice.
Skalární násobek antisymetrické matice je antisymetrická matice.
Elementy na diagonále antisymetrické matice jsou nulové, a tudíž je nulová její stopa.
Pokud je $A$ antisymetrická matice s reálnými elementy ( $\mathbb {F} =\mathbb {R}$ ), potom $\det A\geq 0$ .
Pokud je $A$ reálná antisymetrická matice a $\lambda$ je její reálné vlastní číslo, potom $\lambda =0$ .
Pokud je $A$ reálná antisymetrická matice, potom $I+A$ je regulární matice, kde $I$ je jednotková matice.

Reference editovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Skew-symmetric matrix na anglické Wikipedii.