Otevřít hlavní menu

DefiniceEditovat

Nechť   je vektorový prostor nad tělesem  . Bilineární forma na   je každé zobrazení  , které splňuje následující podmínky, kde  a  :

 
 
 
 

Matice bilineární formy a její transformaceEditovat

Často je výhodné pracovat s bilineární formou jako s maticí. Ta je definována následovně:

Definice: Nechť   je n-rozměrný vektorový prostor nad tělesem   a   báze v něm. Nechť  jsou vektory a  jejich vyjádření vůči  . Nechť   je bilineární forma na  .

Matice   je vyjádřením bilineární formy   v bázi   pokud splňuje:

 

Z této definice přímo vyplývá i transformační vztah pro matici bilineární formy. Pokud   a zároveň má platit  , potom:

 

Symetrická a antisymetrická bilineární formaEditovat

Bilineární forma se nazývá:

  • symetrická, platí-li pro všechna u,v  .
  • antisymetrická, platí-li pro všechna u,v  .

Je-li charakteristika tělesa T různá od 2, lze každou bilineární formu rozložit na její symetrickou a antisymetrickou část:

 ,

kde

  je symetrická a
  je antisymetrická.

Seskvilineární formaEditovat

Ve vektorových prostorech nad komplexními čísly se v mnoha případech (například jako skalární součin) místo bilineárních forem používají tzv. seskvilineární formy, které jsou v prvním argumentu antilineární a v druhém lineární. Jejich definice se od bilineární formy liší pouze jednou podmínkou. Zatímco pro bilineární formu platilo:

 

pro seskvilineární formu platí:

 

kde   je komplexní sdružení.

Obdobnou úvahou jako v případě bilineární formy můžeme dospět k maticovému zápisu  a transformačnímu vztahu  , kde  značí matici hermitovsky sdruženou s  .

Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat