Vytvořující funkce (posloupnost)

Vytvořující (též generující) funkce posloupnosti je mocninná řada, která v sobě obsahuje informaci o dané posloupnosti. Vytvořující funkce tedy umožňuje popsat posloupnost a pracovat s ní prostřednictvím funkce, která v sobě obsahuje veškeré informace o dané posloupnosti.

DefiniceEditovat

Obyčejnou vytvořující funkci posloupnosti   zapíšeme jako

 

Jedná o tzv. otevřený tvar vytvořující funkce. Poznáme ho tak, že je v něm nekonečný součet (což se nám nemusí příliš líbit). Proto často chceme nalézt tzv. uzavřený tvar, ve kterém se nekonečný součet nevyskytuje.

Vysvětlení na praktické ukázceEditovat

Mějme např. posloupnost

 

Pak její vytvořující funkci lze zapsat (na intervalu, ve kterém tato řada konverguje) jako:

 

Uzavřený tvar této funkce lze snadno odvodit z obecného vztahu pro součet geometrické posloupnosti:

 

Tyto dva tvary spolu souvisí tak, že když do nich doplníme za   libovolné reálné číslo z intervalu (-1,1) tzn. |x|<1, pro které uvedená mocninná řada konverguje, vyjde nám v obou tvarech vždy naprosto stejný výsledek.

Například doplníme  , pak nám vyjde součet otevřeného tvaru vytvořující funkce:

 

A pro stejné   vyjde uzavřený tvar taktéž:

 

Vytvořující funkci této jednoduché posloupnosti lze dále považovat za klíčovou pro odvození uzavřených tvarů složitějších posloupností.

Například derivací řady   získáme řadu  

Pokud tedy zderivujeme uzavřený tvar   dostaneme

 

Tato nová odvozená funkce představuje posloupnost  

Podobnými úpravami lze postupně odvodit vytvořující funkce i pro vybrané posloupnosti (viz tabulka níže).

Výpočet koeficientu posloupnosti z vytvořující funkceEditovat

Máme-li vytvořující funkci ve tvaru  , vypočítáme požadovaný koeficient   následovně:

 

Nebo lze pro   použít tento vzoreček

 

PříkladEditovat

Hledáme koeficient   u vytv. fce  :

 

Poznámka: Výpočet hodnoty koeficientu u tohoto typu vytvořující funkce vychází ze zobecněné binomické věty.

Vybrané posloupnosti a jejich vytvořující funkceEditovat

posloupnost vytv. fce pro  
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

OdkazyEditovat

Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat