Vytvořující funkce (posloupnost)

Vytvořující (též generující) funkce posloupnosti je mocninná řada, která v sobě obsahuje informaci o dané posloupnosti. Vytvořující funkce tedy umožňuje popsat posloupnost a pracovat s ní prostřednictvím funkce, která v sobě obsahuje veškeré informace o dané posloupnosti, a naopak otázky týkající se funkcí převádět na zkoumání posloupností. Teorie vytvořujících funkcí má však svoje omezení: Ne každé funkci odpovídá nějaká mocninná řada a ne každá mocninná řada konverguje kdekoli kromě nuly (což ovšem v zásadě nebrání s ní pracovat jako s vytvořující funkcí, pokud nepotřebujeme využít analytické vlastnosti jí definované funkce, ale chápeme ji jen jako tzv. formální mocninnou řadu).

Důležitými aplikacemi teorie vytvořujících funkcí jsou momentová vytvořující funkce v teorii pravděpodobnosti, která mimo jiné umožňuje odvodit rozdělení pravděpodobnosti součtu dvou nezávislých náhodných veličin se známými rozděleními, a příbuzná pravděpodobnostní vytvořující funkce. S pomocí vytvořujících funkcí lze také řešit různé kombinatorické úlohy.[1][2]

DefiniceEditovat

Obyčejnou vytvořující funkci posloupnosti   zapíšeme jako

 

Jedná o tzv. otevřený tvar vytvořující funkce. Poznáme ho tak, že je v něm nekonečný součet (což se nám nemusí příliš líbit). Proto často chceme nalézt tzv. uzavřený tvar, ve kterém se nekonečný součet nevyskytuje.

Vysvětlení na praktické ukázceEditovat

Mějme např. posloupnost

 

Pak její vytvořující funkci lze zapsat (na intervalu, ve kterém tato řada konverguje) jako:

 

Uzavřený tvar této funkce lze snadno odvodit z obecného vztahu pro součet geometrické posloupnosti:

 

Tyto dva tvary spolu souvisí tak, že když do nich doplníme za   libovolné reálné číslo z intervalu (-1,1) tzn. |x|<1, pro které uvedená mocninná řada konverguje, vyjde nám v obou tvarech vždy naprosto stejný výsledek.

Například doplníme  , pak nám vyjde součet otevřeného tvaru vytvořující funkce:

 

A pro stejné   vyjde uzavřený tvar taktéž:

 

Vytvořující funkci této jednoduché posloupnosti lze dále považovat za klíčovou pro odvození uzavřených tvarů složitějších posloupností.

Například derivací řady   získáme řadu  

Pokud tedy zderivujeme uzavřený tvar   dostaneme

 

Tato nová odvozená funkce představuje posloupnost  

Podobnými úpravami lze postupně odvodit vytvořující funkce i pro vybrané posloupnosti (viz tabulka níže).

Výpočet koeficientu posloupnosti z vytvořující funkceEditovat

Máme-li vytvořující funkci ve tvaru  , vypočítáme požadovaný koeficient   následovně:

 

Nebo lze pro   použít tento vzoreček

 

PříkladEditovat

Hledáme koeficient   u vytv. fce  :

 

Poznámka: Výpočet hodnoty koeficientu u tohoto typu vytvořující funkce vychází ze zobecněné binomické věty.

Vybrané posloupnosti a jejich vytvořující funkceEditovat

posloupnost vytv. fce pro  
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

OdkazyEditovat

ReferenceEditovat

  1. CASHCOOL. Re-learning the Generating Functions by Over-Using them!. Medium [online]. 2022-11-20 [cit. 2022-11-21]. Dostupné online. (anglicky) 
  2. FLAJOLET, Philippe; SEDGEWICK, Robert. Analytic combinatorics. Cambridge: Cambridge University Press, 2009. 1 online resource (xiii, 810 pages) s. Dostupné online. ISBN 978-0-511-48079-9, ISBN 0-511-48079-2. OCLC 489194625 

Externí odkazyEditovat

Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat