Momentová vytvořující funkce

Momentová vytvořující funkce (anglicky moment-generating function) náhodné proměnné je v teorii pravděpodobnosti a statistice alternativní popis rozdělení pravděpodobnosti. Momentová vytvořující funkce umožňuje dostat se k analytickým výsledkům jinou cestou než přímým používáním hustot pravděpodobnosti nebo distribučních funkcí. Velmi jednoduché je použití momentové vytvořující funkce definované váženými součty náhodné proměnné.

Momentovou vytvořující funkci lze definovat nejen pro jednorozměrná rozdělení, ale i pro vektorové nebo maticové náhodné proměnné a lze ji dokonce rozšířit i na obecnější případy.

Na rozdíl od charakteristické funkce nemusí ani pro reálné argumenty momentová vytvořující funkce vždy existovat. Existují vztahy mezi chováním momentové vytvořující funkce rozdělení a vlastnostmi rozdělení, jako například existence momentů. Což nevyvrací, že se to popírá.

DefiniceEditovat

V teorii pravděpodobnosti a statistice se momentová vytvořující funkce náhodné proměnné X definuje jako

 

kdekoli tato střední hodnota existuje. Jinak řečeno, momentovou vytvořující funkci lze interpretovat jako střední hodnotu náhodné proměnné  .

  vždy existuje a rovná se 1.

Klíčový problém s momentovou vytvořující funkcí je, že momenty a momentová vytvořující funkce nemusí existovat, protože potřebné integrály nekonvergují absolutně. Charakteristická funkce naproti tomu existuje vždy (protože je integrálem omezené funkce na prostoru konečné míry) a proto může být používána místo ní.

Pokud  T je n-rozměrný náhodný vektor, pak používáme   místo tX:

 

Důvodem pro definování této funkce je, že ji lze použít pro nalezení všech momentů rozdělení[1]. Rozvinutí řady etX je:

 

Odtud:

 

kde mn je n-tý moment.

Derivováním MX(t) i krát podle t a položením t = 0 dostaneme i-tý moment o počátek, mi, viz kapitola Výpočet momentů níže.

PříkladyEditovat

Následující tabulka obsahuje příklady momentová vytvořující funkce a charakteristická funkce pro porovnání. Je vidět, že charakteristická funkce je Wickovou rotací momentové vytvořující funkce Mx(t), pokud tato existuje.

Distribuce Momentová vytvořující funkce MX(t) Charakteristická funkce φ(t)
Alternativní          
Geometrické      
  
   
Binomické B(n, p)        
Poissonovo Pois(λ)        
Rovnoměrné (spojité) U(a, b)        
Rovnoměrné (diskrétní) U(a, b)        
Normální N(μ, σ2)        
Chí kvadrát χ2k        
Gamma Γ(k, θ)        
Exponenciální Exp(λ)        
Vícerozměrné normální N(μ, Σ)        
Degenerované δa        
Laplaceovo L(μ, b)        
Negativně binomické NB(r, p)        
Cauchyho Cauchy(μ, θ) neexistuje    

VýpočetEditovat

Momentová vytvořující funkce je střední hodnota funkce náhodné proměnné, což lze napsat:

  • Pro diskrétní pravděpodobnostní funkce:  
  • Pro spojité hustoty pravděpodobnosti:  

Pokud X má spojitou hustotu pravděpodobnosti ƒ(x), pak MX(−t) je oboustrannou Laplaceovou transformací funkce ƒ(x).

 

kde mn je n-tý moment.

Součet nezávislých náhodných proměnnýchEditovat

Pokud  , kde Xi jsou nezávislé náhodné proměnné a ai jsou konstanty, pak hustota pravděpodobnosti pro Sn je konvoluce hustoty pravděpodobnosti všech Xi, a momentová vytvořující funkce Sn je dána jako

 

Vektorové náhodné proměnnéEditovat

Pro vektorové náhodné proměnné X s reálnými složkami je momentová vytvořující funkce dána vzorcem

 

kde t je vektor a   je skalární součin.

Důležité vlastnostiEditovat

Momentové vytvořující funkce jsou kladné a logaritmicky konvexní funkce s M(0) = 1.

Důležitou vlastností momentové vytvořující funkce je, že pokud dvě rozdělení mají stejné momentové vytvořující funkce, pak jsou rozdělení identická skoro všude.[2] Neboli pokud pro všechny hodnoty t,

 

pak

 

pro všechny hodnoty x (nebo ekvivalentně: X a Y mají stejné rozdělení). Toto tvrzení není ekvivalentní s tvrzením „jestliže dvě rozdělení mají stejné momenty, pak jsou identická ve všech bodech“. Důvodem je, že v některých případech momenty existují, ale momentová vytvořující funkce ne, protože limita

 

nemusí existovat. Příkladem je logaritmicko-normální rozdělení.

Výpočet momentůEditovat

Název momentová vytvořující funkce vyjadřuje, že pokud existuje na otevřeném intervalu v okolí t = 0, pak je exponenciální vytvořující funkcí momentů rozdělení:

 

Kde n je nezáporné celé číslo.

Jiné vlastnostiEditovat

Hoeffdingovo lemma dává omezení momentové vytvořující funkce pro omezenou náhodnou proměnnou s nulovým průměrem.

Vztah k jiným funkcímEditovat

Momentové vytvořující funkci se podobá několik dalších transformací, které se často používají v teorii pravděpodobnosti:

Charakteristická funkce
Charakteristická funkce   má souvislost s momentovou vytvořující funkcí danou vztahem  : charakteristická funkce je momentová vytvořující funkce iX nebo momentová vytvořující funkce X vyhodnocená na imaginární ose. Tuto funkci můžeme také považovat za Fourierovu transformaci hustoty pravděpodobnosti, která z ní může být odvozena inverzní Fourierovou transformací.
Kumulantová vytvořující funkce
Kumulantová vytvořující funkce je definována jako logaritmus momentové vytvořující funkce; někteří autoři definují kumulantovou vytvořující funkci jako logaritmus charakteristické funkce, jiní takto definovanou funkci nazývají druhou kumulantovou vytvořující funkcí.
Pravděpodobnostní vytvořující funkce
Pravděpodobnostní vytvořující funkce je definována jako   Odtud okamžitě vyplývá, že  

OdkazyEditovat

ReferenceEditovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Moment-generating function na anglické Wikipedii.

  1. Bulmer, M.G., Principles of Statistics, Dover, 1979, stránky 75–79
  2. Grimmett, Geoffrey. Probability - An Introduction. [s.l.]: Oxford University Press, 1986. ISBN 978-0-19-853264-4. 
  • GRIMMETT, Geoffrey; WELSH, Dominic. Probability - An Introduction. 1. vyd. [s.l.]: [s.n.] ISBN 978-0-19-853264-4. 

Externí odkazyEditovat