Pravděpodobnostní vytvořující funkce

funkce

Pravděpodobnostní vytvořující funkce diskrétní náhodné proměnné je v teorii pravděpodobnosti mocninná řada reprezentace (vytvořující funkce) pravděpodobnostní funkce náhodné proměnné. Pravděpodobnostní vytvořující funkce se často používají pro svůj stručný popis posloupnosti pravděpodobností Pr(X = i) v pravděpodobnostní funkci pro náhodnou veličinu X a díky tomu, že zpřístupňují dobře rozvinutou teorii mocninných řad s nezápornými koeficienty.

Definice

editovat

Jednorozměrný případ

editovat

Pokud X je diskrétní náhodná proměnná nabývající nezáporných celočíselných hodnot {0,1, ...}, pak pravděpodobnostní vytvořující funkce náhodné proměnné X je definována jako[1]

 

kde p je pravděpodobnostní funkce náhodné proměnné X. Jméno náhodné proměnné se často doplňuje jako dolní index: GX a pX, aby se zdůraznilo, že se funkce týkají určité náhodné proměnné X a jejího rozdělení pravděpodobnosti. Mocninná řada konverguje absolutně alespoň pro všechna komplexní čísla z s |z| ≤ 1; v mnoha případech je poloměr konvergence větší.

Vícerozměrný případ

editovat

Pokud X = (X1,...,Xd ) je diskrétní náhodná proměnná nabývající hodnoty v d-rozměrné nezáporné celočíselné mřížce {0,1, ...}d, pak pravděpodobnostní vytvořující funkce náhodné proměnné X je definována jako

 

kde p je pravděpodobnostní funkce náhodné proměnné X. Mocninná řada konverguje absolutně alespoň pro všechny komplexní vektory z = (z1,...,zd ) ∈ ℂd s max{|z1|,...,|zd |} ≤ 1.

Vlastnosti

editovat

Mocninná řada

editovat

Pro pravděpodobnostní vytvořující funkci platí všechna pravidla pro mocninné řady s nezápornými koeficienty. Konkrétně G(1) = 1, kde G(1) = limz→1G(z) zdola, protože součet pravděpodobností musí být roven jedné. Podle Abelovy věty pro mocninné řady s nezápornými koeficienty musí být poloměr konvergence jakékoli pravděpodobnostní vytvořující funkce alespoň 1.

Pravděpodobnosti a střední hodnota

editovat

Následující vlastnosti umožňují odvození různých základních veličin vycházejících z X:

  1. Pravděpodobnostní funkci náhodné proměnné X lze získat z derivací funkce G,
        
  2. Z vlastnosti 1 plyne, že pokud náhodné proměnné X a Y mají stejné pravděpodobnostní vytvořující funkce (GX = GY), pak pX = pY. Čili pokud X a Y mají stejné pravděpodobnostní vytvořující funkce, pak mají stejné rozdělení.
  3. Normalizaci hustoty pravděpodobnosti lze vyjádřit pomocí vytvořující funkce
        
    střední (očekávaná) hodnota náhodné proměnné X je
        
    Obecněji k-tý faktoriálový moment,   náhodné proměnné X je
        
    Takže rozptyl náhodné proměnné X je
        
    Navíc k-tý obecný moment náhodné proměnné X je
         
  4. Platí  , kde X je náhodná proměnná,   je pravděpodobnostní vytvořující funkce (náhodné proměnné X) a   je momentová vytvořující funkce (náhodné proměnné X) .

Funkce nezávislých náhodných proměnných

editovat

Pravděpodobnostní vytvořující funkce jsou užitečné pro práci s funkcemi nezávislých náhodných proměnných. Například:

  • Pokud X1, X2, ..., XN je posloupnost nezávislých náhodných proměnných (které mohou mít i různá rozdělení pravděpodobnosti) a
 
kde ai jsou konstanty, pak pravděpodobnostní vytvořující funkce je
 
Jestliže například
 
pak pravděpodobnostní vytvořující funkce GSN(z), je
 
Z uvedeného také plyne, že pravděpodobnostní vytvořující funkce rozdílu dvou nezávislých náhodných proměnných S = X1X2 je
 
  • Předpokládejme, že N je také nezávislá diskrétní náhodná proměnná nabývající nezáporných celočíselných hodnot s pravděpodobnostní vytvořující funkcí GN. Pokud X1, X2, ..., XN jsou nezávislé náhodné veličiny se stejným rozdělením pravděpodobnosti a s obvyklou pravděpodobnostní vytvořující funkcí GX, pak
 
To plyne z věty o celkové střední hodnotě:
 
Tento poslední fakt je užitečný při studiu Galtonových–Watsonových procesů a složených Poissonových procesů.
  • Opět předpokládejme, že N je nezávislá diskrétní náhodná proměnná nabývající nezáporné celočíselné hodnoty s pravděpodobnostní vytvořující funkcí GN a hustotou pravděpodobnosti  . Pokud X1, X2, ..., XN jsou nezávislé náhodné proměnné, které nemají stejné rozdělení, a   jsou pravděpodobnostní vytvořující funkce náhodné proměnné  , pak
 
Pro Xi se stejným rozdělením se vzorec zjednodušuje na identitu uvedenou výše. Obecný případ bývá užitečný pro získání rozkladu SN pomocí vytvořující funkce.

Příklady

editovat
 
  • Pravděpodobnostní vytvořující funkce binomické náhodné proměnné, počet úspěchů v n pokusech s pravděpodobností úspěchu p v každém pokusu je
 
Jde o n-násobný součin pravděpodobnostní vytvořující funkce pro alternativní (Bernoulliho) rozdělení s parametrem p.
Takže pravděpodobnostní vytvořující funkce spravedlivé mince je
 
 
(konverguje pro  ).
Jde o r-násobný součin pravděpodobnostní vytvořující funkce geometrické náhodné proměnné s parametrem 1 − p na {0,1,2,...}.
 

Příbuzné koncepty

editovat

Pravděpodobnostní vytvořující funkce je příkladem vytvořující funkce posloupnosti (viz formální mocninná řada). Je ekvivalentní Z-transformaci pravděpodobnostní funkce a někdy se tak i nazývá.

K dalším vytvořujícím funkcím náhodných proměnných patří momentová vytvořující funkce, charakteristická funkce a kumulantová vytvořující funkce. Pravděpodobnostní vytvořující funkce je také ekvivalentní s faktoriálovou momentovou vytvořující funkcí, která jako   může být také uvažována pro spojité a jiné náhodné proměnné.

Reference

editovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Probability-generating function na anglické Wikipedii.

Literatura

editovat
  • JOHNSON, N.L.; KOTZ, S.; KEMP, A.W. Univariate Discrete distributions. 2. vyd. [s.l.]: Wiley, 1993. ISBN 0-471-54897-9.