Pravděpodobnostní vytvořující funkce
Pravděpodobnostní vytvořující funkce diskrétní náhodné proměnné je v teorii pravděpodobnosti mocninná řada reprezentace (vytvořující funkce) pravděpodobnostní funkce náhodné proměnné. Pravděpodobnostní vytvořující funkce se často používají pro svůj stručný popis posloupnosti pravděpodobností Pr(X = i) v pravděpodobnostní funkci pro náhodnou veličinu X a díky tomu, že zpřístupňují dobře rozvinutou teorii mocninných řad s nezápornými koeficienty.
Definice
editovatJednorozměrný případ
editovatPokud X je diskrétní náhodná proměnná nabývající nezáporných celočíselných hodnot {0,1, ...}, pak pravděpodobnostní vytvořující funkce náhodné proměnné X je definována jako[1]
kde p je pravděpodobnostní funkce náhodné proměnné X. Jméno náhodné proměnné se často doplňuje jako dolní index: GX a pX, aby se zdůraznilo, že se funkce týkají určité náhodné proměnné X a jejího rozdělení pravděpodobnosti. Mocninná řada konverguje absolutně alespoň pro všechna komplexní čísla z s |z| ≤ 1; v mnoha případech je poloměr konvergence větší.
Vícerozměrný případ
editovatPokud X = (X1,...,Xd ) je diskrétní náhodná proměnná nabývající hodnoty v d-rozměrné nezáporné celočíselné mřížce {0,1, ...}d, pak pravděpodobnostní vytvořující funkce náhodné proměnné X je definována jako
kde p je pravděpodobnostní funkce náhodné proměnné X. Mocninná řada konverguje absolutně alespoň pro všechny komplexní vektory z = (z1,...,zd ) ∈ ℂd s max{|z1|,...,|zd |} ≤ 1.
Vlastnosti
editovatMocninná řada
editovatPro pravděpodobnostní vytvořující funkci platí všechna pravidla pro mocninné řady s nezápornými koeficienty. Konkrétně G(1−) = 1, kde G(1−) = limz→1G(z) zdola, protože součet pravděpodobností musí být roven jedné. Podle Abelovy věty pro mocninné řady s nezápornými koeficienty musí být poloměr konvergence jakékoli pravděpodobnostní vytvořující funkce alespoň 1.
Pravděpodobnosti a střední hodnota
editovatNásledující vlastnosti umožňují odvození různých základních veličin vycházejících z X:
- Pravděpodobnostní funkci náhodné proměnné X lze získat z derivací funkce G,
- Z vlastnosti 1 plyne, že pokud náhodné proměnné X a Y mají stejné pravděpodobnostní vytvořující funkce (GX = GY), pak pX = pY. Čili pokud X a Y mají stejné pravděpodobnostní vytvořující funkce, pak mají stejné rozdělení.
- Normalizaci hustoty pravděpodobnosti lze vyjádřit pomocí vytvořující funkce
střední (očekávaná) hodnota náhodné proměnné X je
Obecněji k-tý faktoriálový moment, náhodné proměnné X je
Takže rozptyl náhodné proměnné X je
Navíc k-tý obecný moment náhodné proměnné X je
- Platí , kde X je náhodná proměnná, je pravděpodobnostní vytvořující funkce (náhodné proměnné X) a je momentová vytvořující funkce (náhodné proměnné X) .
Funkce nezávislých náhodných proměnných
editovatPravděpodobnostní vytvořující funkce jsou užitečné pro práci s funkcemi nezávislých náhodných proměnných. Například:
- Pokud X1, X2, ..., XN je posloupnost nezávislých náhodných proměnných (které mohou mít i různá rozdělení pravděpodobnosti) a
- kde ai jsou konstanty, pak pravděpodobnostní vytvořující funkce je
- Jestliže například
- pak pravděpodobnostní vytvořující funkce GSN(z), je
- Z uvedeného také plyne, že pravděpodobnostní vytvořující funkce rozdílu dvou nezávislých náhodných proměnných S = X1 − X2 je
- Předpokládejme, že N je také nezávislá diskrétní náhodná proměnná nabývající nezáporných celočíselných hodnot s pravděpodobnostní vytvořující funkcí GN. Pokud X1, X2, ..., XN jsou nezávislé náhodné veličiny se stejným rozdělením pravděpodobnosti a s obvyklou pravděpodobnostní vytvořující funkcí GX, pak
- To plyne z věty o celkové střední hodnotě:
- Tento poslední fakt je užitečný při studiu Galtonových–Watsonových procesů a složených Poissonových procesů.
- Opět předpokládejme, že N je nezávislá diskrétní náhodná proměnná nabývající nezáporné celočíselné hodnoty s pravděpodobnostní vytvořující funkcí GN a hustotou pravděpodobnosti . Pokud X1, X2, ..., XN jsou nezávislé náhodné proměnné, které nemají stejné rozdělení, a jsou pravděpodobnostní vytvořující funkce náhodné proměnné , pak
- Pro Xi se stejným rozdělením se vzorec zjednodušuje na identitu uvedenou výše. Obecný případ bývá užitečný pro získání rozkladu SN pomocí vytvořující funkce.
Příklady
editovat- Pravděpodobnostní vytvořující funkce konstantní náhodné proměnné, tj. rozdělení s Pr(X = c) = 1, je
- Pravděpodobnostní vytvořující funkce binomické náhodné proměnné, počet úspěchů v n pokusech s pravděpodobností úspěchu p v každém pokusu je
- Jde o n-násobný součin pravděpodobnostní vytvořující funkce pro alternativní (Bernoulliho) rozdělení s parametrem p.
- Takže pravděpodobnostní vytvořující funkce spravedlivé mince je
- Pravděpodobnostní vytvořující funkce negativní binomické náhodné proměnné na {0,1,2 ...}, počet neúspěchů dokud r-tého úspěchu s pravděpodobností úspěchu v každém pokusu p je
- (konverguje pro ).
- Jde o r-násobný součin pravděpodobnostní vytvořující funkce geometrické náhodné proměnné s parametrem 1 − p na {0,1,2,...}.
- Pravděpodobnostní vytvořující funkce Poissonovy náhodné proměnné s parametrem λ je
Příbuzné koncepty
editovatPravděpodobnostní vytvořující funkce je příkladem vytvořující funkce posloupnosti (viz formální mocninná řada). Je ekvivalentní Z-transformaci pravděpodobnostní funkce a někdy se tak i nazývá.
K dalším vytvořujícím funkcím náhodných proměnných patří momentová vytvořující funkce, charakteristická funkce a kumulantová vytvořující funkce. Pravděpodobnostní vytvořující funkce je také ekvivalentní s faktoriálovou momentovou vytvořující funkcí, která jako může být také uvažována pro spojité a jiné náhodné proměnné.
Odkazy
editovatReference
editovatV tomto článku byl použit překlad textu z článku Probability-generating function na anglické Wikipedii.
Literatura
editovat- JOHNSON, N.L.; KOTZ, S.; KEMP, A.W. Univariate Discrete distributions. 2. vyd. [s.l.]: Wiley, 1993. ISBN 0-471-54897-9.